Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = \(a\sqrt 2 \). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB

Mà ABCD là hình vuông cạnh a ⇒ AD ⊥ AB

Vì AD và SA là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (SAD) ⇒ AB ⊥ (SAD)

Mà CD ∥ AB, nên CD ⊥ (SAD)

⇒ Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (SAD) là đường thẳng SD

⇒ Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) là góc \(\widehat {CSD}\)

Xét △SAD vuông tại A có: SD = \(\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} \) = \(\sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} \) = \(a\sqrt 3 \) (định lý Pytago)

Xét △SAC vuông tại A: SC = \(\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} \) = \(\sqrt {2{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} \) = 2a (định lý Pytago)

Mà SD² + CD² = \({\left( {a\sqrt 3 } \right)^2}\) + a² = 3a² + a² = 4a² = SC²

⇒ △SCD vuông tại D (áp dụng định lý Pytago đảo)

⇒ tan\(\widehat {CSD}\) = \(\frac{{CD}}{{SD}}\) = \(\frac{a}{{a\sqrt 3 }}\) = \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\) ⇒ \(\widehat {CSD}\) = 30°.

b) Đúng. Vì SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AB

⇒ Góc giữa SB và (ABCD) là \(\widehat {SBA}\)

Xét tam giác vuông SAB tại A, ta có: tan\(\widehat {SBA}\) = \(\frac{{SA}}{{AB}}\) = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{a}\) = \(\sqrt 2 \)

⇒ \(\widehat {SBA}\) ≈ 54,75°.

c) Đúng. Vì SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AC

⇒ Góc giữa SC và (ABCD) là \(\widehat {SCA}\)

Xét △SAC: AC = SA = \(a\sqrt 2 \), SA ⊥ AC

⇒ △SAC vuông cân tại A ⇒ \(\widehat {SCA}\) = 45°.

d) Sai. Ta có: BC ⊥ AB (ABCD là hình vuông), BC ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD))

Vì AB và SA cắt nhau và cùng thuộc mặt phẳng (SAB) ⇒ BC ⊥ (SAB)

Do đó, hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (SAB) là đường thẳng SB

⇒ Góc giữa SC và (SAB) là \(\widehat {CSB}\)

Xét tam giác vuông SBC tại B:

SB = \(\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} \) = \(\sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} \) = \(a\sqrt 3 \) (định lý Pytago trong △SAB vuông tại A)

BC = a

⇒ tan\(\widehat {CSB}\) = \(\frac{{BC}}{{SB}}\) = \(\frac{a}{{a\sqrt 3 }}\) = \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\) ⇒ \(\widehat {CSB}\) = 30° ≠ 60°.