Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 4a, AD = 3a. Các cạnh bên đều có độ dài 5a . Góc nhị diện [S, BC, A] có số đo gần bằng giá trị nào dưới đây?
75°46'.
71°21'.
68°31'.
65°12'.
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Hai mặt phẳng vuông góc lớp 11 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, M là trung điểm của BC.
Vì SA = SB = SC = SD ⇒ hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là tâm O của hình chữ nhật ABCD ⇒ SO ⊥ (ABCD)
Ta có: ABCD là hình chữ nhật ⇒ AB ⊥ BC; MB ⊂ BC nên MB ⊥ AB
Lại có: M là trung điểm của BC, O là tâm hình chữ nhật ABCD
⇒ OM ∥ AB, mà AB ⊥ BC ⇒ OM ⊥ BC
Mặt khác, SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC.
Vì BC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau SO, OM nằm trong mặt phẳng (SOM), nên BC ⊥ (SOM).
Mà: (SOM) ∩ (ABCD) = OM; S, M ∈ (SBC) ⇒ (SOM) ∩ (SBC) = SM.
⇒ \(\widehat {SMO}\) là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A]
Vì OM ∥ AB và OM = \(\frac{{AB}}{2}\) ⇒ OM = 2a
Xét tam giác ABD vuông tại A:
DB = \(\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} \) = \(\sqrt {{{(4a)}^2} + {{(3a)}^2}} \) = 5a (định lý Pytago) ⇒ OD = \(\frac{{DB}}{2}\) = \(\frac{{5a}}{2}\)
Xét tam giác SOD vuông tại O:
SO = \(\sqrt {S{D^2} - O{D^2}} \) = \(\sqrt {{{(5a)}^2} - {{\left( {\frac{{5a}}{2}} \right)}^2}} \) = \(\frac{{5\sqrt 3 }}{2}\)a (định lý Pytago)
Xét tam giác vuông SMO tại O, ta có: tan\(\widehat {SMO}\) = \(\frac{{SO}}{{OM}}\) = \(\frac{{\frac{{5\sqrt 3 }}{2}a}}{{2a}}\) = \(\frac{{5\sqrt 3 }}{4}\)
⇒ \(\widehat {SMO}\) ≈ 65°12'.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
Vào phòng luyện đề →Luyện đề →CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Gọi M là trung điểm của AB.
Vì ABCD là hình thang vuông có AB ∥ CD, AB = 2DC nên CM là đường trung trực của AB
⇒ CM ⊥ AB
Lại có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CM
Do CM vuông góc với hai đường thẳng AB và SA là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (SAB) ⇒ CM ⊥ (SAB).
Trong mặt phẳng (SAB), từ M kẻ MK ⊥ SB(K ∈ SB)
Ta có: CM ⊥ SB (vì CM ⊥ (SAB)); MK ⊥ SB. Do CM và MK là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (CKM) ⇒ SB ⊥ (CKM).
Mặt khác: (CKM) ∩ (SBC) = CK; (CKM) ∩ (SAB) = KM
Vì mặt phẳng (CKM) vuông góc với cạnh SB nên góc \(\widehat {CKM}\) là một góc phẳng của góc nhị diện [C, SB, A]
Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB ⇒ tam giác SAB vuông tại A. Do đó:
SB = \(\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} \) = \(\sqrt {{{(a\sqrt 2 )}^2} + {{(2a)}^2}} \) = \(a\sqrt 6 \) (định lý Pytago)
Xét hai tam giác vuông BKM và BAS, ta có \(\widehat {KBM} = \widehat {ABS}\)
⇒ △BKM đồng dạng với △BAS.
⇒ \(\frac{{KM}}{{SA}} = \frac{{BM}}{{SB}}\). Mà BM = \(\frac{{AB}}{2}\) = a; SA = \(a\sqrt 2 \); SB = \(a\sqrt 6 \)
⇒ KM = \(\frac{{BM}}{{SB}} \cdot SA\) = \(\frac{a}{{a\sqrt 6 }}\)⋅ \(a\sqrt 2 \) = \(\frac{a}{{\sqrt 3 }}\)
Xét △CKM vuông tại M, ta có: tan\(\widehat {CKM}\) = \(\frac{{CM}}{{MK}}\) = \(\frac{a}{{\frac{a}{{\sqrt 3 }}}}\) = \(\sqrt 3 \) ⇒ \(\widehat {CKM}\) = 60°.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Gọi giao điểm của AC và BE là I
Do ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a
⇒ Tứ giác ABCE là hình vuông cạnh a ⇒ BE ⊥ AC hay BE ⊥ AI. (1)
Mặt khác, SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BE. (2)
Từ (1) và (2), do AI và SA là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (SAI)
⇒ BE ⊥ (SAI).
Ta có: (SAI) ∩ (SBE) = SI; (SAI) ∩ (ABE) = AI
Vì mặt phẳng (SAI) vuông góc với cạnh BE
⇒ \(\widehat {SIA}\) là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BE, A]
Vì ABCE là hình vuông cạnh a ⇒ IA = \(\frac{{AC}}{2}\) = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Xét tam giác SIA vuông tại A: tan\(\widehat {SIA}\) = \(\frac{{SA}}{{IA}}\) = \[\frac{{a\sqrt 6 }}{2}:\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\] = \(\sqrt 3 \) ⇒ \(\widehat {SIA}\) = 60°.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
\(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{2}{5}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
\(\widehat {SBA}\);
\(\widehat {SCA}\);
\(\widehat {ASC}\);
\(\widehat {ASB}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập