Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , SC ⊥ (ABCD) và SC = 3a. Tính góc phẳng nhị diện [B, SA, C]. (Tính theo độ, làm tròn kết quả đến độ)
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Hai mặt phẳng vuông góc lớp 11 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: 54
Gọi O là tâm hình vuông ABCD
Ta có: BO ⊥ AC
SC ⊥ (ABCD) ⇒ BO ⊥ SC.
Vì BO vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AC và SC thuộc mặt phẳng (SAC), nên BO ⊥ (SAC) ⇒ BO ⊥ SA
Xét hai mặt phẳng: (SBA) ∩ (SAC) = SA
Trong mặt phẳng (SAC), kẻ OI ⊥ SA (I ∈ SA). (1)
Do SA cùng vuông góc với hai đường thẳng BO và OI cắt nhau tại O và cùng nằm trong mặt phẳng (BIO) ⇒ SA ⊥ (BIO) ⇒ SA ⊥ BI (2)
⇒ Từ (1), (2) ⇒ [B, SA, C] = \(\widehat {BIO}\)
Xét hai tam giác vuông △IAO và △CAS, ta có: \(\widehat {IAO} = \widehat {CAS}\) nên △IAO đồng dạng với △CAS
⇒ \(\frac{{OI}}{{SC}} = \frac{{OA}}{{SA}}\) (*)
Ta có: OA = \(\frac{{AC}}{2}\) = \(\frac{{2a\sqrt 2 }}{2}\) = a\(\sqrt 2 \)
Xét tam giác SAC vuông tại C:
SA = \(\sqrt {S{C^2} + A{C^2}} \) = \(\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {2a\sqrt 2 } \right)}^2}} \) = a\[\sqrt {17} \] (định lý Pytago)
Từ (*) ⇒ OI = \(\frac{{OA \cdot SC}}{{SA}}\) = \(\frac{{a\sqrt 2 \cdot 3a}}{{a\sqrt {17} }}\) = \(\frac{{3\sqrt {34} }}{{17}}\)a
Mặt khác: BO = \(\frac{{BD}}{2} = \frac{{2a\sqrt 2 }}{2}\) = \(a\sqrt 2 \)
Xét tam giác BOI vuông tại O: tan\[\widehat {BIO}\] = \(\frac{{BO}}{{OI}}\) = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{{\frac{{3\sqrt {34} }}{{17}}a}}\) = \(\frac{{\sqrt {17} }}{3}\) ⇒ \(\widehat {BIO}\) ≈ 54°.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: 30
![Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB = AC = a, góc BAC = 120°, SA = a/2 căn 3. Tính số đo góc nhị diện [S, BC, A]. (Tính theo độ.) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1788679366/image22.png)
Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
Vì AB = AC = a nên tam giác ABC cân tại A. Do đó AM ⊥ BC (1)
Lại có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC (2)
Từ (1), (2), do SA và AM là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (SAM)
⇒ BC ⊥ (SAM).
Mặt khác: (SAM) ∩ (SBC) = SM, (SAM) ∩ (ABC) = AM
⇒ Góc \(\widehat {SMA}\) là góc phẳng của góc nhị diện [S,BC,A]
Vì tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm cạnh BC
⇒ AM là đường phân giác của góc A ⇒ \(\widehat {BAM}\) = \(\frac{{120^\circ }}{2}\) = 60°
Xét tam giác ABM vuông tại M:
cos\(\widehat {BAM}\) = \(\frac{{AM}}{{AB}}\) ⇒ AM = AB ⋅ cos\(\widehat {BAM}\) = a ⋅ \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{a}{2}\)
Xét tam giác SAM vuông tại A: tan\(\widehat {SMA}\) = \(\frac{{SA}}{{AM}}\) = \(\frac{{\frac{a}{{2\sqrt 3 }}}}{{\frac{a}{2}}}\) = \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\) ⇒ \(\widehat {SMA}\) = 30°
Vậy [S, BC, A] = 30°.
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: 45
Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên BC ⇒ AH ⊥ BC
Vì SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC
Nên SA và AH là hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với BC ⇒ BC ⊥ (SAH).
Mặt khác: (SAH) ∩ (SBC) = SH; (SAH) ∩ (ABC) = AH.
⇒ Góc \(\widehat {SHA}\) là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A]
Xét tam giác vuông ABC tại A: sin\(\widehat {ABC}\) = \(\frac{{AC}}{{BC}}\) ⇔ BC = \(\frac{{AC}}{{\sin 30^\circ }}\) = \(\frac{a}{{\sin 30^\circ }}\) = 2a
⇒ cos\(\widehat {ABC}\) = \(\frac{{AB}}{{BC}}\) ⇒ AB = BC ⋅ cos30° = 2a ⋅ \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) = \(a\sqrt 3 \)
AH = \(\frac{{AB \cdot AC}}{{BC}}\) = \(\frac{{a\sqrt 3 \cdot a}}{{2a}}\) = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Mà SA = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
⇒ SA = AH ⇒ △SAH vuông cân tại A ⇒ \(\widehat {SHA}\) = 45°
⇒ Số đo góc nhị diện [S, BC, A] = 45°.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
75°46'.
71°21'.
68°31'.
65°12'.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
\(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{2}{5}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập