Cho tứ diện S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = 1. Gọi α là góc phẳng nhị diện [S, BC, A]. Tính cos α.

Đáp án:

Đáp án: 54

Gọi O là tâm hình vuông ABCD

Ta có: BO ⊥ AC

SC ⊥ (ABCD) ⇒ BO ⊥ SC.

Vì BO vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AC và SC thuộc mặt phẳng (SAC), nên BO ⊥ (SAC) ⇒ BO ⊥ SA

Xét hai mặt phẳng: (SBA) ∩ (SAC) = SA

Trong mặt phẳng (SAC), kẻ OI ⊥ SA (I ∈ SA). (1)

Do SA cùng vuông góc với hai đường thẳng BO và OI cắt nhau tại O và cùng nằm trong mặt phẳng (BIO) ⇒ SA ⊥ (BIO) ⇒ SA ⊥ BI (2)

⇒ Từ (1), (2) ⇒ [B, SA, C] = \(\widehat {BIO}\)

Xét hai tam giác vuông △IAO và △CAS, ta có: \(\widehat {IAO} = \widehat {CAS}\) nên △IAO đồng dạng với △CAS

⇒ \(\frac{{OI}}{{SC}} = \frac{{OA}}{{SA}}\) (*)

Ta có: OA = \(\frac{{AC}}{2}\) = \(\frac{{2a\sqrt 2 }}{2}\) = a\(\sqrt 2 \)

Xét tam giác SAC vuông tại C:

SA = \(\sqrt {S{C^2} + A{C^2}} \) = \(\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {2a\sqrt 2 } \right)}^2}} \) = a\[\sqrt {17} \] (định lý Pytago)

Từ (*) ⇒ OI = \(\frac{{OA \cdot SC}}{{SA}}\) = \(\frac{{a\sqrt 2 \cdot 3a}}{{a\sqrt {17} }}\) = \(\frac{{3\sqrt {34} }}{{17}}\)a

Mặt khác: BO = \(\frac{{BD}}{2} = \frac{{2a\sqrt 2 }}{2}\) = \(a\sqrt 2 \)

Xét tam giác BOI vuông tại O: tan\[\widehat {BIO}\] = \(\frac{{BO}}{{OI}}\) = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{{\frac{{3\sqrt {34} }}{{17}}a}}\) = \(\frac{{\sqrt {17} }}{3}\) ⇒ \(\widehat {BIO}\) ≈ 54°.

Đáp án:

Đáp án: 47

Xét kim tự tháp là hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao 98m và cạnh đáy 180m:

Gọi O là tâm hình vuông đáy ABCD, M là trung điểm của cạnh AB

Vì hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ AB. (1)

Mặt khác, trong hình vuông ABCD, OM ⊥ AB. (2)

Từ (1) và (2), do SO và OM là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (SOM)

⇒ AB ⊥ (SOM)

Lại có: (SOM) ∩ (SAB) = SM, (SOM) ∩ (ABCD) = OM.

⇒ Vì vậy, theo định nghĩa góc phẳng của góc nhị diện, ta có:

[(SAB), AB, (ABCD)] = \(\widehat {SMO}\)

Vì M là trung điểm của cạnh AB ⇒ OM = \(\frac{{AB}}{2} = \frac{{180}}{2}\) = 90m

Xét tam giác SOM vuông tại O: tan\(\widehat {SMO}\) = \(\frac{{SO}}{{OM}} = \frac{{98}}{{90}} = \frac{{49}}{{45}}\) ⇒ \(\widehat {SMO}\) ≈ 47°.