a) Đặt bán kính mặt cầu là \(R = 6\) dm và gọi chiều cao của hình nón là \(h\) (dm) \(\left( {0 \le h \le 2R = 4} \right).\)

Khi đó, khoảng cách từ tâm mặt cầu đến tâm của đáy nón là \(\left| {R - h} \right| = \left| {2 - h} \right|\) (dm)

Đặt bán kính đáy là \(r\) (dm), theo định lý Pythagore, ta có:

\({r^2} + {\left| {R - h} \right|^2} = {R^2}\)

\({\rm{ }}{r^2} + {\left( {2 - h} \right)^2} = {2^2}\)

Suy ra \({r^2} = 4 - \left( {{h^2} - 4h + 4} \right) = 4h - {h^2}\)

Do đó, theo bất đẳng thức Cauchy 3 số vào thể tích hình nón, ta có:

\({V_{non}} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{\pi }{3}h\left( {4h - {h^2}} \right) = \frac{{4\pi }}{3}\left( {4 - h} \right) \cdot \frac{h}{2} \cdot \frac{h}{2} \le \frac{{4\pi }}{3} \cdot {\left( {\frac{{4 - h + \frac{h}{2} + \frac{h}{2}}}{3}} \right)^3} = \frac{{256\pi }}{{81}}\) (dm3).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(4 - h = \frac{h}{2}\) hay \(h = \frac{8}{3}\) (dm)

Vậy thể tích hình nón có giá trị lớn nhất là \(\frac{{256\pi }}{{81}}\) dm3 khi chiều cao của hình nón là \(\frac{8}{3}\) dm.

b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(4 = a + b + 2ab \le a + b + \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}\)

\(8 \le 2\left( {a + b} \right) + {\left( {a + b} \right)^2}\)

\(\left( {a + b + 4} \right)\left( {a + b - 2} \right) \ge 0.\)

Vì \(a,b > 0\) nên \(a + b + 4 > 0\), suy ra \(a + b - 2 \ge 0\) hay \(a + b \ge 2\).

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:

\(2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = \left( {1 + 1} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^2} \ge {2^2} = 4,{\rm{ hay }}{a^2} + {b^2} \ge 2.\)

Từ đó \(P = \frac{{2{a^2}{b^2} + 4}}{{ab}} - \frac{5}{{{a^2} + {b^2}}} + 4\)

\( = \left( {2ab + \frac{2}{{ab}}} \right) + \left( {\frac{2}{{ab}} - \frac{4}{{{a^2} + {b^2}}}} \right) - \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + 4\)

\( = 2\left( {ab + \frac{1}{{ab}}} \right) + \frac{{2{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} - \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + 4\)

\(\mathop \ge \limits^{BDT{\kern 1pt} {\kern 1pt} Cauchy} {\mkern 1mu} 2 \cdot 2\sqrt {ab \cdot \frac{1}{{ab}}} - \frac{1}{2} + 4{\rm{ }}\)

\( = 4 + 4 - \frac{1}{2} = \frac{{15}}{2}.\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\frac{{15}}{2}\) khi \(a = b = 1\).

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

II. PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Cho \(x > 0\) và \(x \ne 4\). Rút gọn biểu thức:\(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{2}{{x - 4}}} \right) \cdot \frac{{x - 4}}{{2x}}.\)