Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 1}\\{2x + y = 7}\end{array}} \right.\).

Với \(x > 0\) và \(x \ne 4\), ta có:

\(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{2}{{x - 4}}} \right) \cdot \frac{{x - 4}}{{2x}}\)

\( = \left[ {\frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{2}{{x - 4}}} \right] \cdot \frac{{x - 4}}{{2x}}\)

\( = \frac{{\sqrt x - 2 + 2}}{{x - 4}} \cdot \frac{{x - 4}}{{2x}} = \frac{{\sqrt x }}{{2x}} = \frac{1}{{2\sqrt x }}.\)

Vậy \(A = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) với \(x > 0,x \ne 4\).

a) Đặt bán kính mặt cầu là \(R = 6\) dm và gọi chiều cao của hình nón là \(h\) (dm) \(\left( {0 \le h \le 2R = 4} \right).\)

Khi đó, khoảng cách từ tâm mặt cầu đến tâm của đáy nón là \(\left| {R - h} \right| = \left| {2 - h} \right|\) (dm)

Đặt bán kính đáy là \(r\) (dm), theo định lý Pythagore, ta có:

\({r^2} + {\left| {R - h} \right|^2} = {R^2}\)

\({\rm{ }}{r^2} + {\left( {2 - h} \right)^2} = {2^2}\)

Suy ra \({r^2} = 4 - \left( {{h^2} - 4h + 4} \right) = 4h - {h^2}\)

Do đó, theo bất đẳng thức Cauchy 3 số vào thể tích hình nón, ta có:

\({V_{non}} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{\pi }{3}h\left( {4h - {h^2}} \right) = \frac{{4\pi }}{3}\left( {4 - h} \right) \cdot \frac{h}{2} \cdot \frac{h}{2} \le \frac{{4\pi }}{3} \cdot {\left( {\frac{{4 - h + \frac{h}{2} + \frac{h}{2}}}{3}} \right)^3} = \frac{{256\pi }}{{81}}\) (dm3).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(4 - h = \frac{h}{2}\) hay \(h = \frac{8}{3}\) (dm)

Vậy thể tích hình nón có giá trị lớn nhất là \(\frac{{256\pi }}{{81}}\) dm3 khi chiều cao của hình nón là \(\frac{8}{3}\) dm.

b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(4 = a + b + 2ab \le a + b + \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}\)

\(8 \le 2\left( {a + b} \right) + {\left( {a + b} \right)^2}\)

\(\left( {a + b + 4} \right)\left( {a + b - 2} \right) \ge 0.\)

Vì \(a,b > 0\) nên \(a + b + 4 > 0\), suy ra \(a + b - 2 \ge 0\) hay \(a + b \ge 2\).

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:

\(2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = \left( {1 + 1} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^2} \ge {2^2} = 4,{\rm{ hay }}{a^2} + {b^2} \ge 2.\)

Từ đó \(P = \frac{{2{a^2}{b^2} + 4}}{{ab}} - \frac{5}{{{a^2} + {b^2}}} + 4\)

\( = \left( {2ab + \frac{2}{{ab}}} \right) + \left( {\frac{2}{{ab}} - \frac{4}{{{a^2} + {b^2}}}} \right) - \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + 4\)

\( = 2\left( {ab + \frac{1}{{ab}}} \right) + \frac{{2{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} - \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + 4\)

\(\mathop \ge \limits^{BDT{\kern 1pt} {\kern 1pt} Cauchy} {\mkern 1mu} 2 \cdot 2\sqrt {ab \cdot \frac{1}{{ab}}} - \frac{1}{2} + 4{\rm{ }}\)

\( = 4 + 4 - \frac{1}{2} = \frac{{15}}{2}.\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\frac{{15}}{2}\) khi \(a = b = 1\).