a) Một hình nón nội tiếp một hình cầu bán kính bằng 2 dm, hình nón có đỉnh và đường tròn đáy nằm trên mặt cầu (tham khảo hình vẽ).

Tính thể tích lớn nhất của hình nón đó.

b) Cho các số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(a + b + 2ab = 4\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{2{a^2}{b^2} + 4}}{{ab}} - \frac{5}{{{a^2} + {b^2}}} + 4\).

a) Đặt bán kính mặt cầu là \(R = 6\) dm và gọi chiều cao của hình nón là \(h\) (dm) \(\left( {0 \le h \le 2R = 4} \right).\)

Khi đó, khoảng cách từ tâm mặt cầu đến tâm của đáy nón là \(\left| {R - h} \right| = \left| {2 - h} \right|\) (dm)

Đặt bán kính đáy là \(r\) (dm), theo định lý Pythagore, ta có:

\({r^2} + {\left| {R - h} \right|^2} = {R^2}\)

\({\rm{ }}{r^2} + {\left( {2 - h} \right)^2} = {2^2}\)

Suy ra \({r^2} = 4 - \left( {{h^2} - 4h + 4} \right) = 4h - {h^2}\)

Do đó, theo bất đẳng thức Cauchy 3 số vào thể tích hình nón, ta có:

\({V_{non}} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{\pi }{3}h\left( {4h - {h^2}} \right) = \frac{{4\pi }}{3}\left( {4 - h} \right) \cdot \frac{h}{2} \cdot \frac{h}{2} \le \frac{{4\pi }}{3} \cdot {\left( {\frac{{4 - h + \frac{h}{2} + \frac{h}{2}}}{3}} \right)^3} = \frac{{256\pi }}{{81}}\) (dm3).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(4 - h = \frac{h}{2}\) hay \(h = \frac{8}{3}\) (dm)

Vậy thể tích hình nón có giá trị lớn nhất là \(\frac{{256\pi }}{{81}}\) dm3 khi chiều cao của hình nón là \(\frac{8}{3}\) dm.

b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(4 = a + b + 2ab \le a + b + \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}\)

\(8 \le 2\left( {a + b} \right) + {\left( {a + b} \right)^2}\)

\(\left( {a + b + 4} \right)\left( {a + b - 2} \right) \ge 0.\)

Vì \(a,b > 0\) nên \(a + b + 4 > 0\), suy ra \(a + b - 2 \ge 0\) hay \(a + b \ge 2\).

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:

\(2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = \left( {1 + 1} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^2} \ge {2^2} = 4,{\rm{ hay }}{a^2} + {b^2} \ge 2.\)

Từ đó \(P = \frac{{2{a^2}{b^2} + 4}}{{ab}} - \frac{5}{{{a^2} + {b^2}}} + 4\)

\( = \left( {2ab + \frac{2}{{ab}}} \right) + \left( {\frac{2}{{ab}} - \frac{4}{{{a^2} + {b^2}}}} \right) - \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + 4\)

\( = 2\left( {ab + \frac{1}{{ab}}} \right) + \frac{{2{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} - \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + 4\)

\(\mathop \ge \limits^{BDT{\kern 1pt} {\kern 1pt} Cauchy} {\mkern 1mu} 2 \cdot 2\sqrt {ab \cdot \frac{1}{{ab}}} - \frac{1}{2} + 4{\rm{ }}\)

\( = 4 + 4 - \frac{1}{2} = \frac{{15}}{2}.\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\frac{{15}}{2}\) khi \(a = b = 1\).