Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\), từ điểm \(M\) kẻ các tiếp tuyến \(MA,MB\) với đường tròn \(\left( O \right)\) \((A,B\) là các tiếp điểm). Đường thẳng \(MO\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm phân biệt \(C\) và \(D\) \((C\) nằm giữa \(M\) và \(D).\)
a) Chứng minh bốn điểm \(M,A,O,B\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) với \(OM\), \(I\) là trung điểm của \(MH\). Đường thẳng \(AI\) cắt \(\left( O \right)\) tại điểm \(E\) \((E\) khác \(A\)). Chứng minh \(MC \cdot MD = M{A^2}\) và \(HE \bot AI\).
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\), từ điểm \(M\) kẻ các tiếp tuyến \(MA,MB\) với đường tròn \(\left( O \right)\) \((A,B\) là các tiếp điểm). Đường thẳng \(MO\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm phân biệt \(C\) và \(D\) \((C\) nằm giữa \(M\) và \(D).\)
a) Chứng minh bốn điểm \(M,A,O,B\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) với \(OM\), \(I\) là trung điểm của \(MH\). Đường thẳng \(AI\) cắt \(\left( O \right)\) tại điểm \(E\) \((E\) khác \(A\)). Chứng minh \(MC \cdot MD = M{A^2}\) và \(HE \bot AI\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Theo tính chất tiếp tuyến thì ta có \(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = 90^\circ \) nên hai điểm \(A,\,\,B\) nằm trên đường tròn đường kính \(MO\) suy ra tứ giác \(MAOB\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(MO\).
Vậy 4 điểm \(M,A,O,B\) cùng thuộc một đường tròn.
b) *) Chứng minh \(MC.MD = M{A^2}\):
Xét \(\Delta CMA\) và \(\Delta AMD\) có \(\widehat {AMD}\) là góc chung và \(\widehat {MAC} = \widehat {MDA}{\rm{ }}\)
Suy ra (g.g), nên \(\frac{{AM}}{{CM}} = \frac{{DM}}{{AM}}\), hay \(M{A^2} = MC.MD\).
*) Chứng minh \(HE\) vuông góc với \(AI\):
Xét \(\Delta OAM\) và \(\Delta OHA\) có \(\widehat {AOH}\) là góc chung và \(\widehat {OHA} = \widehat {OAM} = 90^\circ \)
Suy ra (g.g).
Dẫn đến \(\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OM}}\) hay \(\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{OC}}{{OM}} = \frac{{OC - OH}}{{OM - OC}} = \frac{{OC + OH}}{{OM + OC}} = \frac{{OD + OH}}{{OM + OD}}\) tức là \(\frac{{HC}}{{CM}} = \frac{{HD}}{{DM}}\quad \left( 1 \right).\)
Ta sẽ chứng minh \(I{H^2} = IC.ID\).
Thật vậy: (1) tương đương \(\frac{{DM}}{{MC}} = \frac{{DH}}{{CH}}\).
Mặt khác: \[\frac{{DM}}{{MC}} = \frac{{IM + ID}}{{IC + IM}};\quad \frac{{DH}}{{CH}} = \frac{{ID - IH}}{{IH - IC}}.\]
Mà \[IM = IH\] nên \[\frac{{IH + ID}}{{IC + IH}} = \frac{{ID - IH}}{{IH - IC}}.\]
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta suy ra được \(\frac{{IH}}{{IC}} = \frac{{ID}}{{IH}}\), nên \(I{H^2} = IC.ID\).
Xét \(\Delta ICE\) và \(\Delta IAD\) có \(\widehat {AID}\) là góc chung và \(\widehat {ICE} = \widehat {IAD}\) (do tứ giác \(CEAD\) nội tiếp)
Suy ra (g.g), dẫn đến \(\frac{{IE}}{{ID}} = \frac{{IC}}{{IA}}\), hay \(IE.IA = IC.ID\).
Từ đây suy ra \(I{H^2} = IE.IA\), tương đương với \(\frac{{IH}}{{IE}} = \frac{{IA}}{{IH}}\) (2).
Xét \(\Delta IHE\) và \(\Delta IAH\) có \(\widehat {AID}\) là góc chung và \(\frac{{IH}}{{IE}} = \frac{{IA}}{{IH}}\)
Do đó (c.g.c), nên là \(\widehat {IEH} = \widehat {IHA} = 90^\circ \), hay \(HE \bot AI\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
Vào phòng luyện đề →Luyện đề →CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Giải bất phương trình
\(2x - 6 > 0\)
\(2x > 6\)
\(x > 3\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Xét phương trình \({x^2} - 2x - 4 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.\left( { - 4} \right) = 4 + 16 = 20 > 0\)
nên suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Viète: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 2}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - 4}\end{array}} \right.\)
Khi đó:
\[T = \frac{{3{x_1}}}{{{x_2} + 1}} + \frac{{3{x_2}}}{{{x_1} + 1}} = \frac{{3{x_1}\left( {{x_1} + 1} \right) + 3{x_2}\left( {{x_2} + 1} \right)}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}\]
\[ = \frac{{3x_1^2 + 3{x_1} + 3x_2^2 + 3{x_2}}}{{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1}} = \frac{{3{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 6{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}\]
\[ = \frac{{3 \cdot {2^2} - 6\left( { - 4} \right) + 3 \cdot 2}}{{ - 4 + 2 + 1}} = \frac{{42}}{{ - 1}} = - 42.\]
Vậy \(T = - 42\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập