Parabol \(\left( P \right)\) trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào sau đây?

Đặt \(a = x\), \(b = y\), \(\frac{c}{2} = z\) hay \(c = 2z\). Vì \(a,b,c\) là các số thực dương nên \(x,y,z > 0\).

Khi đó ta có:

⦁ Vì \(2ab + c\left( {a + b} \right) = 6\) nên \(2xy + 2z\left( {x + y} \right) = 6\) suy ra \(xy + yz + zx = 3\).

⦁ \(P = \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} + \sqrt {{y^2} + 3} + \sqrt {{z^2} + 3} }}{{2x + 2y + 2z}}\quad \left( 1 \right)\)

⦁ \(\sqrt {{a^2} + 3} = \sqrt {{x^2} + 3} = \sqrt {{x^2} + xy + yz + zx} = \sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \).

Tương tự: \(\sqrt {{b^2} + 3} = \sqrt {{y^2} + 3} = \sqrt {\left( {y + z} \right)\left( {x + y} \right)} \); \(\sqrt {\frac{{{c^2}}}{4} + 3} = \sqrt {{z^2} + 3} = \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} \)

Với \(x,y,z > 0\), áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được:

⦁ \(\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \le \frac{{{{\left( {\sqrt {x + y} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {x + z} } \right)}^2}}}{2} = x + \frac{{y + z}}{2}\)

⦁ Tương tự: \(\sqrt {\left( {y + z} \right)\left( {x + y} \right)} \le y + \frac{{x + z}}{2}\); \(\sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} \le z + \frac{{x + y}}{2}\)

Cộng các vế của các bất đẳng thức trên ta được:

\(\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} + \sqrt {\left( {y + z} \right)\left( {x + y} \right)} + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} \le 2\left( {x + y + z} \right)\)

Từ đó suy ra: \(\sqrt {{x^2} + 3} + \sqrt {{y^2} + 3} + \sqrt {{z^2} + 3} \le 2\left( {x + y + z} \right)\quad \left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(P \le \frac{{2\left( {x + y + z} \right)}}{{2\left( {x + y + z} \right)}} = 1\) (với \(x,y,z > 0\)).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = x + z}\\{y + z = x + y}\\{x + z = y + z}\end{array}} \right.\) hay \(x = y = z\), mặt khác \(xy + yz + zx = 3\) nên \(x = y = z = 1\) (thỏa mãn \(x,y,z > 0\)), suy ra \(a = b = \frac{c}{2} = 1\) hay \(a = b = 1\) và \(c = 2\) (thỏa mãn).

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) bằng \(1\) khi \(a = b = 1\) và \(c = 2\).

a) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {AEB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

Suy ra \(\widehat {AEB} = 90^\circ \) nên \(\widehat {DEB} = 90^\circ \).

Theo giả thiết \(CH \bot AB\) tại \(H\) nên \(\widehat {DHB} = 90^\circ \).

Xét tứ giác \(BHDE\), ta có: \(\widehat {DEB} = \widehat {DHB} = 90^\circ \) nên tứ giác \(BHDE\) nội tiếp được trong một đường tròn.

Vậy bốn điểm \(B,H,D,E\) cùng nằm trên một đường tròn (đường tròn đường kính \(BD\)).

b) Xét \(\Delta ADH\) và \(\Delta ABE\) có:

\(\widehat {AHD} = \widehat {AEB} = 90^\circ \) (chứng minh trên),

Góc \(\widehat {A\,\,}\) chung (hay \(\widehat {DAH} = \widehat {EAB}\)).

Do đó, $\Delta ADH\backsim \Delta ABE$ (g.g).

Suy ra tỉ số:\(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{AE}}\) nên \(AD \cdot AE = AH \cdot AB\).

Khi đó:

\(P = AD \cdot AE + BH \cdot BA\)

\(P = AH \cdot AB + BH \cdot AB\)

\(P = AB\left( {AH + BH} \right)\)

\(P = AB \cdot AB = A{B^2}\)

\(P = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}.\)

c) Vì \(\widehat {AOC} < 90^\circ \) nên điểm \(H\) nằm giữa \(A\) và \(O\). Đặt \(\widehat {AOC} = \alpha \) (\(0^\circ < \alpha < 90^\circ \)).

Xét tam giác \(OHC\) vuông tại \(H\), ta có:

\(CH = OC \cdot \sin \alpha = R\sin \alpha \) và \(OH = OC \cdot \cos \alpha = R\cos \alpha \)

Độ dài \(HB = HO + OB = R\cos \alpha + R = R\left( {1 + \cos \alpha } \right)\).

Thay vào biểu thức \(T\):

\(T = \frac{1}{{R\sin \alpha + R}} + \frac{1}{{R(1 + \cos \alpha )}} = \frac{1}{R}\left( {\frac{1}{{1 + \sin \alpha }} + \frac{1}{{1 + \cos \alpha }}} \right)\)

Ta có \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) suy ra \({\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab\) và \({\left( {a + b} \right)^2} \le 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\)

Ta suy ra các BĐT \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\) và \(a + b \le \sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \).

Áp dụng BĐT trên ta có

\(\frac{1}{{1 + \sin \alpha }} + \frac{1}{{1 + \cos \alpha }} \ge \frac{4}{{2 + \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)}}.\)

\(\sin \alpha + \cos \alpha \le \sqrt {2\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)} = \sqrt 2 .\)

Do đó \(2 + \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right) \le 2 + \sqrt 2 .\)

Suy ra: \(\frac{4}{{2 + \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)}} \ge \frac{4}{{2 + \sqrt 2 }} = 4 - 2\sqrt 2 .\)

Từ đó ta được: \(T \ge \frac{{4 - 2\sqrt 2 }}{R}.\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + \sin \alpha = 1 + \cos \alpha }\\{\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt 2 }\end{array}} \right.\) tức là \(\sin \alpha = \cos \alpha \) suy ra \(\alpha = 45^\circ .\)

Giá trị \(\alpha = 45^\circ \) hoàn toàn thỏa mãn điều kiện \(0^\circ < \alpha < 90^\circ .\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(T\) là \(\frac{{4 - 2\sqrt 2 }}{R}\) khi \(\widehat {AOC} = 45^\circ .\)