(0,5 điểm) Cho ba số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(2ab + c(a + b) = 6.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(P = \frac{{\sqrt {{a^2} + 3}  + \sqrt {{b^2} + 3}  + \sqrt {\frac{{{c^2}}}{4} + 3} }}{{2a + 2b + c}}.\)

Đặt \(a = x\), \(b = y\), \(\frac{c}{2} = z\) hay \(c = 2z\). Vì \(a,b,c\) là các số thực dương nên \(x,y,z > 0\).

Khi đó ta có:

⦁ Vì \(2ab + c\left( {a + b} \right) = 6\) nên \(2xy + 2z\left( {x + y} \right) = 6\) suy ra \(xy + yz + zx = 3\).

⦁ \(P = \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} + \sqrt {{y^2} + 3} + \sqrt {{z^2} + 3} }}{{2x + 2y + 2z}}\quad \left( 1 \right)\)

⦁ \(\sqrt {{a^2} + 3} = \sqrt {{x^2} + 3} = \sqrt {{x^2} + xy + yz + zx} = \sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \).

Tương tự: \(\sqrt {{b^2} + 3} = \sqrt {{y^2} + 3} = \sqrt {\left( {y + z} \right)\left( {x + y} \right)} \); \(\sqrt {\frac{{{c^2}}}{4} + 3} = \sqrt {{z^2} + 3} = \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} \)

Với \(x,y,z > 0\), áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được:

⦁ \(\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \le \frac{{{{\left( {\sqrt {x + y} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {x + z} } \right)}^2}}}{2} = x + \frac{{y + z}}{2}\)

⦁ Tương tự: \(\sqrt {\left( {y + z} \right)\left( {x + y} \right)} \le y + \frac{{x + z}}{2}\); \(\sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} \le z + \frac{{x + y}}{2}\)

Cộng các vế của các bất đẳng thức trên ta được:

\(\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} + \sqrt {\left( {y + z} \right)\left( {x + y} \right)} + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} \le 2\left( {x + y + z} \right)\)

Từ đó suy ra: \(\sqrt {{x^2} + 3} + \sqrt {{y^2} + 3} + \sqrt {{z^2} + 3} \le 2\left( {x + y + z} \right)\quad \left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(P \le \frac{{2\left( {x + y + z} \right)}}{{2\left( {x + y + z} \right)}} = 1\) (với \(x,y,z > 0\)).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = x + z}\\{y + z = x + y}\\{x + z = y + z}\end{array}} \right.\) hay \(x = y = z\), mặt khác \(xy + yz + zx = 3\) nên \(x = y = z = 1\) (thỏa mãn \(x,y,z > 0\)), suy ra \(a = b = \frac{c}{2} = 1\) hay \(a = b = 1\) và \(c = 2\) (thỏa mãn).

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) bằng \(1\) khi \(a = b = 1\) và \(c = 2\).