(2,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB < AC)\) nội tiếp trong đường tròn \(\left( O \right).\) Các đường cao \(BE,CF\) cắt nhau tại \(H.\)
a) Chứng minh tứ giác \(BFEC\) nội tiếp.
b) Gọi \(AM\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right),\) \(N\) là giao điểm của \(BC\) và \(AM,\) \(P\) là giao điểm của \(AH\) và \(FE.\) Giả sử \(HM\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai \(G.\) Chứng minh rằng \(\widehat {BAH} = \widehat {MAC}\) và \(NP \bot AG.\)
(2,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB < AC)\) nội tiếp trong đường tròn \(\left( O \right).\) Các đường cao \(BE,CF\) cắt nhau tại \(H.\)
a) Chứng minh tứ giác \(BFEC\) nội tiếp.
b) Gọi \(AM\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right),\) \(N\) là giao điểm của \(BC\) và \(AM,\) \(P\) là giao điểm của \(AH\) và \(FE.\) Giả sử \(HM\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai \(G.\) Chứng minh rằng \(\widehat {BAH} = \widehat {MAC}\) và \(NP \bot AG.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Có \(CF \bot AB\) nên \(\widehat {BFC} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta BFC\) vuông tại \[F\]
Do đó \[F\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\].
Có \(BE \bot AC\) nên \(\widehat {BEC} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta BEC\) vuông tại \[E\]
Do đó \[E\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\]
Vậy tứ giác \[BFEC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\].
b) Gọi \[D\] là giao của \[AH\] và \[BC\].
Xét \(\Delta ABC\) có \(AB \bot CF;AC \bot BE\) và \(BE\) cắt \(CF\) tại \(H\) nên \(H\) là trục tâm của \(\Delta ABC\) nên \(AD \bot BC\) suy ra \(\widehat {ADB} = 90^\circ .\)
Có \[C\] thuộc đường tròn đường kính \[AM\] suy ra \(\widehat {ACM} = 90^\circ \)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AMC\) có:
\(\widehat {ADB} = \widehat {ACM} = 90^\circ \) và \[\widehat {ABD} = \widehat {AMC}\] (cùng chắn )
Do đó (g.g).
Suy ra \(\widehat {BAH} = \widehat {MAC}\)
Có tứ giác \[BFEC\] là tứ giác nội tiếp suy ra \(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\,\,\left( { = 180^\circ - \widehat {BFE}} \right)\)
Xét \(\Delta AFP\) và \(\Delta ACN\) có:
\(\widehat {FAP} = \widehat {CAN}\) và \(\widehat {AFP} = \widehat {ACN}\)
Do đó (g.g)
Suy ra \(\frac{{AP}}{{AN}} = \frac{{AF}}{{AC}}\).
Xét \(\Delta AFH\) và \(\Delta ACM\) có:
\(\widehat {FAH} = \widehat {CAM}\) và \(\widehat {AFH} = \widehat {ACM} = 90^\circ \)
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{AF}}{{AC}}\).
Mà \(\frac{{AP}}{{AN}} = \frac{{AF}}{{AC}}\) nên \(\frac{{AP}}{{AN}} = \frac{{AH}}{{AM}}\) suy ra \(\frac{{AP}}{{AH}} = \frac{{AN}}{{AM}}\) do đó \(PN\,{\rm{//}}\,HM{\rm{ }}\)(Định lý Thalès đảo).
Mà \(HM \bot AG\) (Do \(G\) nằm trên đường tròn đường kính \[AM)\] nên \(PN \bot AG\).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Ta có: \(A = 3\sqrt 2 - \sqrt {18} + \sqrt {25} \)\( = 3\sqrt 2 - 3\sqrt 2 + 5 = 5\).
Vậy \(A = 5\).
b) Điều kiện: \(x \ge 0,x = 9\).
\(P = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{3}{{\sqrt x - 3}}} \right):\frac{{x + 1}}{{x - 9}}\)
\( = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{3}{{\sqrt x - 3}}} \right):\frac{{x + 1}}{{x - 9}}\)
\( = \left[ {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + 3\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}} \right]:\frac{{x - 9}}{{x + 1}}\)
\( = \frac{{x - 3\sqrt x + 3\sqrt x + 9}}{{x - 9}}:\frac{{x - 9}}{{x + 1}}\)
\( = \frac{{x + 9}}{{x + 1}}.\)
Để \(P = 3\), ta có:
\(\frac{{x + 9}}{{x + 1}} = 3\)
\(x + 9 = 3x + 3\)
\(2x = 6\)
\(x = 3\)
Vậy \(x = 3\) (thỏa mãn).
Lời giải
a) Điểm thuộc đồ thị \[\left( P \right)\] và có tung độ bằng \( - 27\) nên \(y = - 27\)
Suy ra, \( - 27 = - 3{x^2}\) hay \({x^2} = 9\) nên \(x = 3\) hoặc \(x = - 3.\)
Vậy các điểm thuộc đồ thị \[\left( P \right)\] và có tung độ bằng \( - 27\) là: \(\left( {3; - 27} \right);\left( { - 3; - 27} \right)\).
b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x + y = 11}\\{3x - y = 3}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7x = 14}\\{3x - y = 3}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 3}\end{array}} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {2;\,\,3} \right)\).
c) Gọi tốc độ lúc đi của bạn học sinh là \(x\,\,({\rm{km/h}};x > 0)\)
Lúc về, bạn tăng tốc thêm \(4{\rm{km/h}}\) nên tốc độ lúc về là: \(x + 4\,\,({\rm{km/h}})\)
Thời gian lúc đi là: \(\frac{8}{x}\) (giờ).
Thời gian lúc về là: \(\frac{8}{{x + 4}}\) (giờ).
Theo đề bài, thời gian về ít hơn thời gian đi \(4{\rm{ ph\'u t}} = \frac{1}{{15}}\) (giờ).
Do đó ta có phương trình: \(\frac{8}{x} - \frac{8}{{x + 4}} = \frac{1}{{15}}\)
Giải phương trình trên tìm được: \(x = - 24\) (loại) hoặc \(x = 20\) (thỏa mãn)
Vậy tốc độ lúc đi của bạn học sinh là 20 km/h.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập