(2,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB < AC)\) nội tiếp trong đường tròn \(\left( O \right).\) Các đường cao \(BE,CF\) cắt nhau tại \(H.\)
a) Chứng minh tứ giác \(BFEC\) nội tiếp.
b) Gọi \(AM\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right),\) \(N\) là giao điểm của \(BC\) và \(AM,\) \(P\) là giao điểm của \(AH\) và \(FE.\) Giả sử \(HM\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai \(G.\) Chứng minh rằng \(\widehat {BAH} = \widehat {MAC}\) và \(NP \bot AG.\)
(2,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB < AC)\) nội tiếp trong đường tròn \(\left( O \right).\) Các đường cao \(BE,CF\) cắt nhau tại \(H.\)
a) Chứng minh tứ giác \(BFEC\) nội tiếp.
b) Gọi \(AM\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right),\) \(N\) là giao điểm của \(BC\) và \(AM,\) \(P\) là giao điểm của \(AH\) và \(FE.\) Giả sử \(HM\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai \(G.\) Chứng minh rằng \(\widehat {BAH} = \widehat {MAC}\) và \(NP \bot AG.\)
Câu hỏi trong đề: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026 Lạng Sơn !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Có \(CF \bot AB\) nên \(\widehat {BFC} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta BFC\) vuông tại \[F\]
Do đó \[F\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\].
Có \(BE \bot AC\) nên \(\widehat {BEC} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta BEC\) vuông tại \[E\]
Do đó \[E\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\]
Vậy tứ giác \[BFEC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\].
b) Gọi \[D\] là giao của \[AH\] và \[BC\].
Xét \(\Delta ABC\) có \(AB \bot CF;AC \bot BE\) và \(BE\) cắt \(CF\) tại \(H\) nên \(H\) là trục tâm của \(\Delta ABC\) nên \(AD \bot BC\) suy ra \(\widehat {ADB} = 90^\circ .\)
Có \[C\] thuộc đường tròn đường kính \[AM\] suy ra \(\widehat {ACM} = 90^\circ \)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AMC\) có:
\(\widehat {ADB} = \widehat {ACM} = 90^\circ \) và \[\widehat {ABD} = \widehat {AMC}\] (cùng chắn )
Do đó (g.g).
Suy ra \(\widehat {BAH} = \widehat {MAC}\)
Có tứ giác \[BFEC\] là tứ giác nội tiếp suy ra \(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\,\,\left( { = 180^\circ - \widehat {BFE}} \right)\)
Xét \(\Delta AFP\) và \(\Delta ACN\) có:
\(\widehat {FAP} = \widehat {CAN}\) và \(\widehat {AFP} = \widehat {ACN}\)
Do đó (g.g)
Suy ra \(\frac{{AP}}{{AN}} = \frac{{AF}}{{AC}}\).
Xét \(\Delta AFH\) và \(\Delta ACM\) có:
\(\widehat {FAH} = \widehat {CAM}\) và \(\widehat {AFH} = \widehat {ACM} = 90^\circ \)
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{AF}}{{AC}}\).
Mà \(\frac{{AP}}{{AN}} = \frac{{AF}}{{AC}}\) nên \(\frac{{AP}}{{AN}} = \frac{{AH}}{{AM}}\) suy ra \(\frac{{AP}}{{AH}} = \frac{{AN}}{{AM}}\) do đó \(PN\,{\rm{//}}\,HM{\rm{ }}\)(Định lý Thalès đảo).
Mà \(HM \bot AG\) (Do \(G\) nằm trên đường tròn đường kính \[AM)\] nên \(PN \bot AG\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \[A\] có: \(AH = 7,5.\sin 33^\circ \approx 4,1\,\,({\rm{m}})\).
Vậy khoảng cách giữa 2 tầng liên tiếp khoảng 4,1 m.
b) i) Thể tích thùng nước hình trụ là:
\(V = \pi {R^2}h \approx 3,14 \cdot {12^2} \cdot 40 = 18086,4({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\).
ii) Thể tích gáo nước dạng nửa hình cầu là:
\(v = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi {r^3} \approx \frac{2}{3} \cdot {6^3} \cdot 3,14 = 452,16({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\).
Mỗi cây tưới 2 gáo nước nên lượng nước cần tưới cho một cây là:
\(2 \cdot 452,16 = 904,32({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\)
Số cây tưới được là: \(18086,4:904,32 = 20\) (cây).
Vậy thùng nước tưới được cho 20 cây.
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Gọi chiều dài chiếc thang là \(L\) (cạnh huyền của tam giác vuông), chiều cao từ mặt đất đến đầu thang là 5 m (cạnh đối diện với góc 60°).
Ta có \(\sin 60^\circ = \frac{5}{L}\)
Suy ra \(L = \frac{5}{{\sin 60^\circ }} = \frac{5}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{10}}{{\sqrt 3 }} \approx 5,77\) (m).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
làĐăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập