PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Phần đựng nước của một ly thủy tinh có dạng hình nón với chiều cao là 12 cm và đường kính miệng ly là 10 cm. Ban đầu mực nước trong ly là 6 cm (hình minh họa dưới đây), người ta thả một viên bi sắt đặc hình cầu có đường kính 3 cm chìm hoàn toàn vào trong ly nước. Hỏi mực nước trong ly dâng lên bao nhiêu centimét so với mực nước ban đầu (bỏ qua độ dày của ly, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Đáp án: 7.

Gọi \[x\] (nghìn đồng) là giá một quyển vở và \[y\] (nghìn đồng) là giá một cây bút trước khi giảm giá. Điều kiện: \[x,y > 0\].

An dự định mua 25 quyển vở cùng loại và 5 cây bút cùng loại hết tổng số tiền 410 nghìn đồng nên: \[25x + 5y = 410\] suy ra \[5x + y = 82\]

Khuyến mại giảm giá 10% cho mỗi quyển vở và 5% cho mỗi cây bút nên giá vở còn \[90\% x,\] giá bút còn \[95\% y\].

Số tiền An trả là 485 nghìn đồng nên: \[31.0,9x + 10.0,95 = 485\] suy ra \[27,9x + 9,5y = 485\].

Ta có hệ:\(\left\{ \begin{array}{l}5x + y = 82\\27,9x + 9,5y = 485\end{array} \right.\,\,\,\).

Từ phương trình thứ nhất của hệ có \[y = 82 - 5x\], thay vào phương trình thứ hai ta có:

\[27,9x + 9,5\left( {82 - 5x} \right) = 485\]

\[27,9x + 779 - 47,5x = 485\]

\[ - 19,6x =  - 294\]

\[x = 15\].

Do đó \[y = 82 - 5.15 = 7\].

Vậy giá một cây bút trước khi giảm giá là 7 nghìn đồng.

a) Sai. Ta có: Điêm\[A;E;F \in \left( B \right)\]; đường tròn \(\left( B \right)\) có tâm là \[B\] nên điểm \[B\] không nằm trên đường tròn đó.

Vì vậy tứ giác \(BEFA\) không thể là tứ giác nội tiếp đường tròn \(\left( B \right)\).

b) Sai. Vì \(AB \bot BC\) và \(E\) thuộc \(BC\) nên \(\widehat {ABE} = 90^\circ \).

Vì \(\widehat {AKE}\) là góc nội tiếp chắn cung nhỏ \(AE,\) \(\widehat {ABE} = 90^\circ \) là góc ở tâm chắn cung nhỏ \(AE\), do đó \(\widehat {AKE} = \frac{1}{2}\widehat {ABE} = \frac{1}{2}.90^\circ  = 45^\circ \).

c) Đúng. Trong tam giác vuông \(ABC,\) có \(AB = 4\) cm;\(\sin \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{2}\), nên \(AC = 8\) cm.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật bằng nửa đường chéo, tức là bán kính bằng \(\frac{{AC}}{2} = 4\) cm.

d) Đúng. Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {ACB} = 30^\circ \) nên \(BC = \frac{{AB}}{{\tan 30^\circ }} = 4\sqrt 3 \) và \(AC = 8\) cm.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(BC = AD = 4\sqrt 3 \) cm; \(DC = AB = 4\) cm.

Ta có: \({S_{ADC}} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt 3 \cdot 4 = 8\sqrt 3 \) (cm²).

Vì \(BA = BF = 4\) cm nên bán kính đường tròn \(\left( B \right)\) là 4 cm.

Trong tam giác \(ABC\) có \(\widehat {BAC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \). Suy ra \(\widehat {BAF} = 60^\circ \)

Tam giác \(ABF\) có \(BA = BF\) và \(\widehat {BAF} = 60^\circ \) nên tam giác \(ABF\) là tam giác đều cạnh 4 cm.

Suy ra diện tích tam giác đều \(ABF\) là: \({S_{ABF}} = \frac{1}{4}{4^2}\sqrt 3 = 4\sqrt 3 \) (cm²).

Diện tích quạt tròn \(BAF\) là:\({S_q} = \frac{{60^\circ }}{{360^\circ }}.\pi {4^2} = \frac{{8\pi }}{3}\) (cm²).

Suy ra diện tích hình viên phân:\({S_{vp}} = \frac{{8\pi }}{3} - 4\sqrt 3 \) (cm²).

Gọi diện tích phần gạch chéo cần tìm là \(S\), ta có:

\(S = {S_{ADC}} - {S_{vp}} = 8\sqrt 3 - \left( {\frac{{8\pi }}{3} - 4\sqrt 3 } \right) = 12\sqrt 3 - \frac{{8\pi }}{3} = \frac{{36\sqrt 3 - 8\pi }}{3}\) (cm²).