(0,5 điểm) Một công ty dự định thuê một kho xưởng và điều động một số công nhân để hoàn thành đơn hàng 1000 sản phẩm. Chi phí thuê kho xưởng được tính theo ngày với giá 3 triệu đồng một ngày. Biết một ngày mỗi công nhân làm được 5 sản phẩm và công ty dự định thưởng mỗi công nhân 1 triệu đồng sau khi đơn hàng được hoàn thành. Công ty muốn tổng chi phí thuê kho xưởng và thưởng công nhân khi hoàn thành đơn hàng là nhỏ nhất. Hỏi công ty nên điều động bao nhiêu công nhân và thuê kho xưởng trong bao nhiêu ngày?

Gọi số áo mỗi ngày tổ sản xuất may theo kế hoạch là \(x\) (chiếc, \(x \in {\mathbb{N}^*}\)).

Số áo may được trong 3 ngày đầu là: \(3x\) (chiếc).

Thực tế, trong 7 ngày tiếp theo, mỗi ngày tổ may được nhiều hơn 5 chiếc, tức là \(x + 5\) (chiếc).

Số áo may được trong 7 ngày tiếp theo là: \(7\left( {x + 5} \right)\) (chiếc).

Vì sau 10 ngày, tổ đã may được tổng số 335 chiếc áo nên ta có phương trình:

\[3x + 7\left( {x + 5} \right) = 335\]

\[3x + 7x + 35 = 335\]

\[10x = 300\]

\[x = 30\] (thỏa mãn ĐK).

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất dự định may 30 chiếc áo.

1) Thay \(x = 25\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\) ta được:

\(A = \frac{{\sqrt {25}  - 4}}{{\sqrt {25} }} = \frac{{5 - 4}}{5} = \frac{1}{5}.\)

Vậy \(A = \frac{1}{5}\) khi \(x = 25\).

2) Với \(x > 0,x \ne 9\) ta có:

\(B = \frac{4}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{x - 7\sqrt x  - 12}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{4\left( {\sqrt x  + 3} \right) + x - 7\sqrt x  - 12}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{4\sqrt x  + 12 + x - 7\sqrt x  - 12}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}.\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\).

3) Với \(x > 0,x \ne 9\) ta có: \(P = A \cdot B = \frac{{\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  + 3}} = 1 - \frac{7}{{\sqrt x  + 3}}.\)

Vì \(1 \in \mathbb{Z}\) nên \(P \in \mathbb{Z}\) khi và chỉ khi \(P = \frac{7}{{\sqrt x  + 3}} \in \mathbb{Z}.\)

Với \(x > 0,x \ne 9\) thì \(\sqrt x  + 3 > 3\), từ đó \(0 < \frac{7}{{\sqrt x  + 3}} < \frac{7}{3}\) hay \(0 < P < \frac{7}{3}\).

Mà \(P \in \mathbb{Z}\) nên \(P \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}\).

– Với \(P = 1\) ta có\(\sqrt x  + 3 = 7\) suy ra \(\sqrt x  = 4\) nên \(x = 16\) (TMĐK).

– Với \(P = 2\) ta có \(\sqrt x  + 3 = \frac{7}{2}\) suy ra \(\sqrt x  = \frac{1}{2}\) nên \(x = \frac{1}{4}\) (TMĐK).

Vậy \(x \in \left\{ {\frac{1}{4};16} \right\}\) để \(P\) nhận giá trị nguyên.