(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x - 4}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{4}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{x - 7\sqrt x - 12}}{{x - 9}}\) với \(x > 0,x \ne 9\).
1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 25\).
2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\).
3) Tìm tất cả giá trị của \(x\) để biểu thức \(P = A \cdot B\) có giá trị là số nguyên.
(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x - 4}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{4}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{x - 7\sqrt x - 12}}{{x - 9}}\) với \(x > 0,x \ne 9\).
1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 25\).
2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\).
3) Tìm tất cả giá trị của \(x\) để biểu thức \(P = A \cdot B\) có giá trị là số nguyên.
Câu hỏi trong đề: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026 Hà Nội !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1) Thay \(x = 25\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\) ta được:
\(A = \frac{{\sqrt {25} - 4}}{{\sqrt {25} }} = \frac{{5 - 4}}{5} = \frac{1}{5}.\)
Vậy \(A = \frac{1}{5}\) khi \(x = 25\).
2) Với \(x > 0,x \ne 9\) ta có:
\(B = \frac{4}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{x - 7\sqrt x - 12}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{4\left( {\sqrt x + 3} \right) + x - 7\sqrt x - 12}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)
\( = \frac{{4\sqrt x + 12 + x - 7\sqrt x - 12}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)
\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}.\)
Vậy \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\).
3) Với \(x > 0,x \ne 9\) ta có: \(P = A \cdot B = \frac{{\sqrt x - 4}}{{\sqrt x + 3}} = 1 - \frac{7}{{\sqrt x + 3}}.\)
Vì \(1 \in \mathbb{Z}\) nên \(P \in \mathbb{Z}\) khi và chỉ khi \(P = \frac{7}{{\sqrt x + 3}} \in \mathbb{Z}.\)
Với \(x > 0,x \ne 9\) thì \(\sqrt x + 3 > 3\), từ đó \(0 < \frac{7}{{\sqrt x + 3}} < \frac{7}{3}\) hay \(0 < P < \frac{7}{3}\).
Mà \(P \in \mathbb{Z}\) nên \(P \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}\).
– Với \(P = 1\) ta có\(\sqrt x + 3 = 7\) suy ra \(\sqrt x = 4\) nên \(x = 16\) (TMĐK).
– Với \(P = 2\) ta có \(\sqrt x + 3 = \frac{7}{2}\) suy ra \(\sqrt x = \frac{1}{2}\) nên \(x = \frac{1}{4}\) (TMĐK).
Vậy \(x \in \left\{ {\frac{1}{4};16} \right\}\) để \(P\) nhận giá trị nguyên.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi số áo mỗi ngày tổ sản xuất may theo kế hoạch là \(x\) (chiếc, \(x \in {\mathbb{N}^*}\)).
Số áo may được trong 3 ngày đầu là: \(3x\) (chiếc).
Thực tế, trong 7 ngày tiếp theo, mỗi ngày tổ may được nhiều hơn 5 chiếc, tức là \(x + 5\) (chiếc).
Số áo may được trong 7 ngày tiếp theo là: \(7\left( {x + 5} \right)\) (chiếc).
Vì sau 10 ngày, tổ đã may được tổng số 335 chiếc áo nên ta có phương trình:
\[3x + 7\left( {x + 5} \right) = 335\]
\[3x + 7x + 35 = 335\]
\[10x = 300\]
\[x = 30\] (thỏa mãn ĐK).
Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất dự định may 30 chiếc áo.
Lời giải
Gọi số công nhân cần điều động là \(x\) (người) và số ngày thuê kho xưởng là \(y\) (ngày) \(\left( {x,\,\,y \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)
Mỗi ngày một công nhân làm được 5 sản phẩm nên trong \(y\) ngày, \(x\) công nhân làm được \(5xy\) sản phẩm.
Theo đề bài ta có \(5xy \ge 1000\) hay \(xy \ge 200\) nên \(y \ge \frac{{200}}{x}\).
Tổng chi phí thuê kho xưởng và thưởng công nhân là: \(T = x + 3y\) (triệu đồng).
Ta có: \(T = x + 3y \ge x + \frac{{600}}{x} = \frac{{{x^2} - 49x + 600}}{x} + 49 = \frac{{\left( {x - 24} \right)\left( {x - 25} \right)}}{x} + 49\).
– Với \(x = 25\) thì \(T \ge 49\).
– Với \(x > 25\), do \(x \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(x \ge 26\), suy ra \(\left( {x - 24} \right)\left( {x - 25} \right) > 0\) do đó \(T > 49\).
– Với \(x < 25\), thì \(\left( {x - 24} \right)\left( {x - 25} \right) > 0\) suy ra \(T > 49\).
Tóm lại với mọi \(x\) nguyên dương thì \(T \ge 49\), dấu bằng xảy ra khi \(x = 25\) và \(y = 8\).
Vậy công ty nên điều động 25 công nhân và thuê kho xưởng trong 8 ngày để chi phí là nhỏ nhất (49 triệu đồng).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập