(1,0 điểm) Bác Năm có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều rộng \(x{\rm{ (m)}}\), \((x > 11)\) và chiều dài hơn chiều rộng \(9{\rm{ (m)}}\). Bác Năm dùng một phần đất hình chữ nhật để làm nhà ở như hình vẽ.

 

a) Viết biểu thức thu gọn biểu diễn diện tích phần làm nhà ở theo \(x\).

b) Tìm chiều dài, chiều rộng của mảnh đất, biết diện tích mảnh đất gấp 8 lần diện tích làm nhà ở.

Gọi \[x,{\rm{ }}y\] (ngày) lần lượt là thời gian đội \(A\), đội \(B\) làm riêng xong công việc \[\left( {x > 0\,,{\rm{ }}y > 0} \right).\]

Thời gian hai đội cùng làm xong công việc là \(\frac{{xy}}{{x + y}}\) (ngày).

Theo đề bài, ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{x}{3} + \frac{{2y}}{3} = \frac{{xy}}{{x + y}} + 6}\\{\frac{{2x}}{3} + \frac{y}{3} = \frac{{xy}}{{x + y}} + 4.}\end{array}} \right.\)

Lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai, ta được \(\frac{{y - x}}{3} = 2\) suy ra \(y = x + 6.\)

Thay vào phương trình thứ nhất, ta được

\(\frac{x}{3} + \frac{{2\left( {x + 6} \right)}}{3} = \frac{{x\left( {x + 6} \right)}}{{2x + 6}} + 6\)

\(x + 2x + 12 = \frac{{3x\left( {x + 6} \right)}}{{2x + 6}} + 18\)

\(3x - 6 = \frac{{3x\left( {x + 6} \right)}}{{2x + 6}}\)

\({x^2} - 4x - 12 = 0\)

\(x = 6\) (TMĐK) hoặc \(x =  - 2\) (loại).

Với \(x = 6\) suy ra \(y = 12\).

Thời gian hai đội dự kiến cùng làm xong công việc là: \(\frac{{xy}}{{x + y}} = \frac{{6 \cdot 12}}{{6 + 12}} = 4\) (ngày).

Vậy thời gian hai đội dự kiến cùng làm xong công việc là 4 ngày.

a) Ta có các \(\Delta BFC\) và \(\Delta BEC\) lần lượt vuông tại \[F\] và \[E\] nên \(\Delta BFC\) và \(\Delta BEC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\).

Suy ra 4 điểm \(B,\,\,F,\,\,E,\,\,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

Vậy tứ giác \(BFEC\) nội tiếp.

b) Vì \(AD \bot BC\) nên \(\widehat {ADB} = 90^\circ \).

Vì \(AK\) là đường kính của \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {ACK} = 90^\circ \).

Lại có \(\widehat {ABD} = \widehat {ABC} = \widehat {AKC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\)).

Suy ra $\Delta ABD\backsim \Delta AKC$ (g.g).

Ta có \(\widehat {AFH} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACK} = 90^\circ \).

Mặt khác, \(\widehat {FAH} = \widehat {CAK}\) nên  (g.g).

Suy ra \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AK}}.\)

Do đó \(AF \cdot AK = AH \cdot AC\).

c) Từ \(\widehat {FAI} = \widehat {JAC}\) (cmt) và \(\widehat {AFI} = \widehat {ACJ}\) (tứ giác \(BFEC\) nội tiếp).

Suy ra $\Delta AIF\backsim \Delta AJC$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{AI}}{{AJ}} = \frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AK}}\) hay \(\frac{{AI}}{{AH}} = \frac{{AJ}}{{AK}}\).

Áp dụng định lý Thalès đảo suy ra \(HK\,{\rm{//}}\,IJ\).

Áp dụng định lí tổng ba góc trong \(\Delta ABC\) tính được \(\widehat {ABC} = 75^\circ \) suy ra \(\widehat {AKC} = 75^\circ \).

Ta có \(\widehat {JCK} = 90^\circ  - \widehat {ACB} = 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ \).

Suy ra \(\widehat {AJD} = \widehat {CJK} = 180^\circ  - 45^\circ  - 75^\circ  = 60^\circ \).

Ta có \(AC = \sin 75^\circ  \cdot 2R = R \cdot \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{2}\).

Xét \(\Delta ADC\) vuông cân tại \(D\) nên \(AD = AC:\sqrt 2  = R \cdot \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}\).

Ta có \(AJ = AD:\sin \widehat {AJD} = R \cdot \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\); \(JD = AJ \cdot \cos 60^\circ  = R \cdot \frac{{3 + \sqrt 3 }}{6}\).

Kẻ đường kính \(BT\) của \(\left( O \right)\) ta có \(BC = 2R \cdot \sin 60^\circ  = R\sqrt 3 \).

Ta có $\Delta FAH\backsim \Delta FCB$ (g.g) nên \(\frac{{FA}}{{FC}} = \frac{{AH}}{{BC}}\) suy ra \(AH = R\sqrt 3  \cdot \cot 60^\circ  = R\).

Ta có \(\frac{{AI}}{{AH}} = \frac{{AJ}}{{AK}}\) nên \(\frac{{AI}}{{AH}} = \frac{{R \cdot \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}}}{{2R}} = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{6}\).

Suy ra \(\frac{{{S_{AIJ}}}}{{{S_{AHJ}}}} = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{6}\) hay \({S_{AIJ}} = {S_{AHJ}} \cdot \frac{{3 + \sqrt 3 }}{6} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot JD \cdot \frac{{3 + \sqrt 3 }}{6} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \frac{{3 + \sqrt 3 }}{6}\).

Suy ra \(\frac{{3 + \sqrt 3 }}{6} = {R^2} \cdot \frac{{2 + \sqrt 3 }}{{12}}.\)

Do đó \({S_{IHJ}} = {S_{AHJ}} - {S_{AIJ}} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \frac{{3 + \sqrt 3 }}{6} - {R^2} \cdot \frac{{2 + \sqrt 3 }}{{12}} = \frac{{{R^2}}}{{12}}\).

Vậy diện tích tam giác \(IHJ\) bằng \(\frac{{{R^2}}}{{12}}\).