(1,0 điểm) Cho phương trình \(2{x^2} - 3x - 4 = 0\).

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2 + \frac{1}{2}{x_1} + \frac{1}{2}{x_2}.\)

(1,5 điểm) Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\).

a) Vẽ \(\left( P \right)\).

b) Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc \(\left( P \right)\) có hoành độ bằng 6.

(1,0 điểm) Bác Năm có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều rộng \(x{\rm{ (m)}}\), \((x > 11)\) và chiều dài hơn chiều rộng \(9{\rm{ (m)}}\). Bác Năm dùng một phần đất hình chữ nhật để làm nhà ở như hình vẽ.

a) Viết biểu thức thu gọn biểu diễn diện tích phần làm nhà ở theo \(x\).

b) Tìm chiều dài, chiều rộng của mảnh đất, biết diện tích mảnh đất gấp 8 lần diện tích làm nhà ở.

(1,0 điểm) Một bình inox có cấu tạo gồm hai phần: phần thân có dạng hình trụ có chiều cao \(20{\rm{ cm}}\) và bán kính đáy là \(4{\rm{ cm}}\), phần nắp có dạng nửa hình cầu có đường kính bằng với đường kính đáy của phần thân.

a) Tính thể tích không gian bên trong của cái bình trên nếu bỏ qua độ dày của vỏ bình (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của \({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\)).

b) Nhà sản xuất muốn phủ một lớp sơn tĩnh điện lên mặt ngoài của vỏ bình (gồm phần thân, phần nắp và đáy bình), giả sử chi phí sơn là \(210\,\,{\mkern 1mu} 000\) đồng/\({{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\) Tính chi phí để sơn một cái bình inox (làm tròn kết quả đến nghìn đồng).

Biết công thức tính thể tích hình trụ là \(V = \pi {R^2}h\), diện tích xung quanh hình trụ là \(S = 2\pi Rh\) với \(R\) là bán kính đáy và \(h\) là chiều cao hình trụ. Thể tích hình cầu là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3},\) diện tích mặt cầu là \(S = 4\pi {R^2}\) với \(R\) là bán kính. Lấy \(\pi  = 3,14\).

(3,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( {O\,;\,\,R} \right)\) \(\left( {AB \ne AC} \right)\) có các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) cắt nhau tại \(H\).

a) Chứng minh tứ giác \(BFEC\) nội tiếp.

b) Kẻ đường kính \(AK\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Chứng minh \(\Delta ABD\) đồng dạng \(\Delta AKC\) và \(AF \cdot AK = AH \cdot AC\).

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(EF\) và \(AH\), \(J\) là giao điểm của \(AK\) và \(BC\).

i) Chứng minh \(HK\,{\rm{//}}\,IJ\).

ii) Biết \(\widehat {BAC} = 60^\circ \), \(\widehat {ACB} = 45^\circ \), tính diện tích tam giác \(IHJ\) theo \(R\).

(1,5 điểm) Kết quả khảo sát đối với một số bạn học sinh khối 9 về số giờ sử dụng điện thoại trong một ngày được thể hiện qua biểu đồ dưới đây.

a) Tính số học sinh đã tham gia cuộc khảo sát.

b) Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong học sinh được khảo sát. Tính xác suất của biến cố \(A\): “Học sinh được chọn có thời gian sử dụng điện thoại 3 giờ một ngày”.

c) Nhà trường khuyến cáo học sinh không nên sử dụng điện thoại nhiều hơn 3 giờ một ngày. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong học sinh được khảo sát. Tính xác suất của biến cố \(B\): “Học sinh được chọn đã thực hiện đúng khuyến cáo của nhà trường”.