(1,0 điểm) Một bình inox có cấu tạo gồm hai phần: phần thân có dạng hình trụ có chiều cao \(20{\rm{ cm}}\) và bán kính đáy là \(4{\rm{ cm}}\), phần nắp có dạng nửa hình cầu có đường kính bằng với đường kính đáy của phần thân.

 

a) Tính thể tích không gian bên trong của cái bình trên nếu bỏ qua độ dày của vỏ bình (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của \({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\)).

b) Nhà sản xuất muốn phủ một lớp sơn tĩnh điện lên mặt ngoài của vỏ bình (gồm phần thân, phần nắp và đáy bình), giả sử chi phí sơn là \(210\,\,{\mkern 1mu} 000\) đồng/\({{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\) Tính chi phí để sơn một cái bình inox (làm tròn kết quả đến nghìn đồng).

Biết công thức tính thể tích hình trụ là \(V = \pi {R^2}h\), diện tích xung quanh hình trụ là \(S = 2\pi Rh\) với \(R\) là bán kính đáy và \(h\) là chiều cao hình trụ. Thể tích hình cầu là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3},\) diện tích mặt cầu là \(S = 4\pi {R^2}\) với \(R\) là bán kính. Lấy \(\pi  = 3,14\).

Gọi \[x,{\rm{ }}y\] (ngày) lần lượt là thời gian đội \(A\), đội \(B\) làm riêng xong công việc \[\left( {x > 0\,,{\rm{ }}y > 0} \right).\]

Thời gian hai đội cùng làm xong công việc là \(\frac{{xy}}{{x + y}}\) (ngày).

Theo đề bài, ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{x}{3} + \frac{{2y}}{3} = \frac{{xy}}{{x + y}} + 6}\\{\frac{{2x}}{3} + \frac{y}{3} = \frac{{xy}}{{x + y}} + 4.}\end{array}} \right.\)

Lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai, ta được \(\frac{{y - x}}{3} = 2\) suy ra \(y = x + 6.\)

Thay vào phương trình thứ nhất, ta được

\(\frac{x}{3} + \frac{{2\left( {x + 6} \right)}}{3} = \frac{{x\left( {x + 6} \right)}}{{2x + 6}} + 6\)

\(x + 2x + 12 = \frac{{3x\left( {x + 6} \right)}}{{2x + 6}} + 18\)

\(3x - 6 = \frac{{3x\left( {x + 6} \right)}}{{2x + 6}}\)

\({x^2} - 4x - 12 = 0\)

\(x = 6\) (TMĐK) hoặc \(x =  - 2\) (loại).

Với \(x = 6\) suy ra \(y = 12\).

Thời gian hai đội dự kiến cùng làm xong công việc là: \(\frac{{xy}}{{x + y}} = \frac{{6 \cdot 12}}{{6 + 12}} = 4\) (ngày).

Vậy thời gian hai đội dự kiến cùng làm xong công việc là 4 ngày.

a) Ta có các \(\Delta BFC\) và \(\Delta BEC\) lần lượt vuông tại \[F\] và \[E\] nên \(\Delta BFC\) và \(\Delta BEC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\).

Suy ra 4 điểm \(B,\,\,F,\,\,E,\,\,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

Vậy tứ giác \(BFEC\) nội tiếp.

b) Vì \(AD \bot BC\) nên \(\widehat {ADB} = 90^\circ \).

Vì \(AK\) là đường kính của \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {ACK} = 90^\circ \).

Lại có \(\widehat {ABD} = \widehat {ABC} = \widehat {AKC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\)).

Suy ra $\Delta ABD\backsim \Delta AKC$ (g.g).

Ta có \(\widehat {AFH} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACK} = 90^\circ \).

Mặt khác, \(\widehat {FAH} = \widehat {CAK}\) nên  (g.g).

Suy ra \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AK}}.\)

Do đó \(AF \cdot AK = AH \cdot AC\).

c) Từ \(\widehat {FAI} = \widehat {JAC}\) (cmt) và \(\widehat {AFI} = \widehat {ACJ}\) (tứ giác \(BFEC\) nội tiếp).

Suy ra $\Delta AIF\backsim \Delta AJC$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{AI}}{{AJ}} = \frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AK}}\) hay \(\frac{{AI}}{{AH}} = \frac{{AJ}}{{AK}}\).

Áp dụng định lý Thalès đảo suy ra \(HK\,{\rm{//}}\,IJ\).

Áp dụng định lí tổng ba góc trong \(\Delta ABC\) tính được \(\widehat {ABC} = 75^\circ \) suy ra \(\widehat {AKC} = 75^\circ \).

Ta có \(\widehat {JCK} = 90^\circ  - \widehat {ACB} = 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ \).

Suy ra \(\widehat {AJD} = \widehat {CJK} = 180^\circ  - 45^\circ  - 75^\circ  = 60^\circ \).

Ta có \(AC = \sin 75^\circ  \cdot 2R = R \cdot \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{2}\).

Xét \(\Delta ADC\) vuông cân tại \(D\) nên \(AD = AC:\sqrt 2  = R \cdot \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}\).

Ta có \(AJ = AD:\sin \widehat {AJD} = R \cdot \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\); \(JD = AJ \cdot \cos 60^\circ  = R \cdot \frac{{3 + \sqrt 3 }}{6}\).

Kẻ đường kính \(BT\) của \(\left( O \right)\) ta có \(BC = 2R \cdot \sin 60^\circ  = R\sqrt 3 \).

Ta có $\Delta FAH\backsim \Delta FCB$ (g.g) nên \(\frac{{FA}}{{FC}} = \frac{{AH}}{{BC}}\) suy ra \(AH = R\sqrt 3  \cdot \cot 60^\circ  = R\).

Ta có \(\frac{{AI}}{{AH}} = \frac{{AJ}}{{AK}}\) nên \(\frac{{AI}}{{AH}} = \frac{{R \cdot \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}}}{{2R}} = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{6}\).

Suy ra \(\frac{{{S_{AIJ}}}}{{{S_{AHJ}}}} = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{6}\) hay \({S_{AIJ}} = {S_{AHJ}} \cdot \frac{{3 + \sqrt 3 }}{6} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot JD \cdot \frac{{3 + \sqrt 3 }}{6} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \frac{{3 + \sqrt 3 }}{6}\).

Suy ra \(\frac{{3 + \sqrt 3 }}{6} = {R^2} \cdot \frac{{2 + \sqrt 3 }}{{12}}.\)

Do đó \({S_{IHJ}} = {S_{AHJ}} - {S_{AIJ}} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \frac{{3 + \sqrt 3 }}{6} - {R^2} \cdot \frac{{2 + \sqrt 3 }}{{12}} = \frac{{{R^2}}}{{12}}\).

Vậy diện tích tam giác \(IHJ\) bằng \(\frac{{{R^2}}}{{12}}\).