(1,5 điểm) Kết quả khảo sát đối với một số bạn học sinh khối 9 về số giờ sử dụng điện thoại trong một ngày được thể hiện qua biểu đồ dưới đây.

 

a) Tính số học sinh đã tham gia cuộc khảo sát.

b) Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong học sinh được khảo sát. Tính xác suất của biến cố \(A\): “Học sinh được chọn có thời gian sử dụng điện thoại 3 giờ một ngày”.

c) Nhà trường khuyến cáo học sinh không nên sử dụng điện thoại nhiều hơn 3 giờ một ngày. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong học sinh được khảo sát. Tính xác suất của biến cố \(B\): “Học sinh được chọn đã thực hiện đúng khuyến cáo của nhà trường”.

Gọi \[x,{\rm{ }}y\] (ngày) lần lượt là thời gian đội \(A\), đội \(B\) làm riêng xong công việc \[\left( {x > 0\,,{\rm{ }}y > 0} \right).\]

Thời gian hai đội cùng làm xong công việc là \(\frac{{xy}}{{x + y}}\) (ngày).

Theo đề bài, ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{x}{3} + \frac{{2y}}{3} = \frac{{xy}}{{x + y}} + 6}\\{\frac{{2x}}{3} + \frac{y}{3} = \frac{{xy}}{{x + y}} + 4.}\end{array}} \right.\)

Lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai, ta được \(\frac{{y - x}}{3} = 2\) suy ra \(y = x + 6.\)

Thay vào phương trình thứ nhất, ta được

\(\frac{x}{3} + \frac{{2\left( {x + 6} \right)}}{3} = \frac{{x\left( {x + 6} \right)}}{{2x + 6}} + 6\)

\(x + 2x + 12 = \frac{{3x\left( {x + 6} \right)}}{{2x + 6}} + 18\)

\(3x - 6 = \frac{{3x\left( {x + 6} \right)}}{{2x + 6}}\)

\({x^2} - 4x - 12 = 0\)

\(x = 6\) (TMĐK) hoặc \(x =  - 2\) (loại).

Với \(x = 6\) suy ra \(y = 12\).

Thời gian hai đội dự kiến cùng làm xong công việc là: \(\frac{{xy}}{{x + y}} = \frac{{6 \cdot 12}}{{6 + 12}} = 4\) (ngày).

Vậy thời gian hai đội dự kiến cùng làm xong công việc là 4 ngày.

a) Ta có các \(\Delta BFC\) và \(\Delta BEC\) lần lượt vuông tại \[F\] và \[E\] nên \(\Delta BFC\) và \(\Delta BEC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\).

Suy ra 4 điểm \(B,\,\,F,\,\,E,\,\,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

Vậy tứ giác \(BFEC\) nội tiếp.

b) Vì \(AD \bot BC\) nên \(\widehat {ADB} = 90^\circ \).

Vì \(AK\) là đường kính của \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {ACK} = 90^\circ \).

Lại có \(\widehat {ABD} = \widehat {ABC} = \widehat {AKC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\)).

Suy ra $\Delta ABD\backsim \Delta AKC$ (g.g).

Ta có \(\widehat {AFH} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACK} = 90^\circ \).

Mặt khác, \(\widehat {FAH} = \widehat {CAK}\) nên  (g.g).

Suy ra \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AK}}.\)

Do đó \(AF \cdot AK = AH \cdot AC\).

c) Từ \(\widehat {FAI} = \widehat {JAC}\) (cmt) và \(\widehat {AFI} = \widehat {ACJ}\) (tứ giác \(BFEC\) nội tiếp).

Suy ra $\Delta AIF\backsim \Delta AJC$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{AI}}{{AJ}} = \frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AK}}\) hay \(\frac{{AI}}{{AH}} = \frac{{AJ}}{{AK}}\).

Áp dụng định lý Thalès đảo suy ra \(HK\,{\rm{//}}\,IJ\).

Áp dụng định lí tổng ba góc trong \(\Delta ABC\) tính được \(\widehat {ABC} = 75^\circ \) suy ra \(\widehat {AKC} = 75^\circ \).

Ta có \(\widehat {JCK} = 90^\circ  - \widehat {ACB} = 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ \).

Suy ra \(\widehat {AJD} = \widehat {CJK} = 180^\circ  - 45^\circ  - 75^\circ  = 60^\circ \).

Ta có \(AC = \sin 75^\circ  \cdot 2R = R \cdot \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{2}\).

Xét \(\Delta ADC\) vuông cân tại \(D\) nên \(AD = AC:\sqrt 2  = R \cdot \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}\).

Ta có \(AJ = AD:\sin \widehat {AJD} = R \cdot \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\); \(JD = AJ \cdot \cos 60^\circ  = R \cdot \frac{{3 + \sqrt 3 }}{6}\).

Kẻ đường kính \(BT\) của \(\left( O \right)\) ta có \(BC = 2R \cdot \sin 60^\circ  = R\sqrt 3 \).

Ta có $\Delta FAH\backsim \Delta FCB$ (g.g) nên \(\frac{{FA}}{{FC}} = \frac{{AH}}{{BC}}\) suy ra \(AH = R\sqrt 3  \cdot \cot 60^\circ  = R\).

Ta có \(\frac{{AI}}{{AH}} = \frac{{AJ}}{{AK}}\) nên \(\frac{{AI}}{{AH}} = \frac{{R \cdot \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}}}{{2R}} = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{6}\).

Suy ra \(\frac{{{S_{AIJ}}}}{{{S_{AHJ}}}} = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{6}\) hay \({S_{AIJ}} = {S_{AHJ}} \cdot \frac{{3 + \sqrt 3 }}{6} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot JD \cdot \frac{{3 + \sqrt 3 }}{6} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \frac{{3 + \sqrt 3 }}{6}\).

Suy ra \(\frac{{3 + \sqrt 3 }}{6} = {R^2} \cdot \frac{{2 + \sqrt 3 }}{{12}}.\)

Do đó \({S_{IHJ}} = {S_{AHJ}} - {S_{AIJ}} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \frac{{3 + \sqrt 3 }}{6} - {R^2} \cdot \frac{{2 + \sqrt 3 }}{{12}} = \frac{{{R^2}}}{{12}}\).

Vậy diện tích tam giác \(IHJ\) bằng \(\frac{{{R^2}}}{{12}}\).