Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Kẻ đường cao \(AD\) của tam giác \(ABC\). Qua điểm \(D\) kẻ \(DE\) vuông góc với \(AB\) và \(DF\) vuông góc với \(AC\)(\(E\) thuộc \(AB\), \(F\) thuộc \(AC\)).
a) Chứng minh bốn điểm \(A,\,E,\,D,\,F\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh \(AE \cdot AB = AF \cdot AC\).
c) Kẻ đường kính \(AI\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(J\) là trung điểm của \(DI\). Chứng minh \(JE = JF.\)
Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Kẻ đường cao \(AD\) của tam giác \(ABC\). Qua điểm \(D\) kẻ \(DE\) vuông góc với \(AB\) và \(DF\) vuông góc với \(AC\)(\(E\) thuộc \(AB\), \(F\) thuộc \(AC\)).
a) Chứng minh bốn điểm \(A,\,E,\,D,\,F\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh \(AE \cdot AB = AF \cdot AC\).
c) Kẻ đường kính \(AI\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(J\) là trung điểm của \(DI\). Chứng minh \(JE = JF.\)
Câu hỏi trong đề: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026 Đắk Lắk !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Tam giác \(AED\) vuông tại \(E\) nên ba điểm \(A,\;E,\;D\) thuộc đường tròn đường kính \(AD.\)
Tam giác \(AFD\) vuông tại \(F\) nên ba điểm \(A,\;F,\;D\) thuộc đường tròn đường kính \(AD.\)
Vậy bốn điểm \(A,\;E,\;D,\;F\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AD.\)
b) Ta có \(\widehat {AEF} = \widehat {ADF}\) (cùng chắn cung \[AF\] của đường tròn đường kính \(AD\));
\(\widehat {ADF} + \widehat {FDC} = 90^\circ ,\) \(\widehat {FDC} + \widehat {FCD} = 90^\circ \) suy ra \(\widehat {ADF} = \widehat {FCD},\)
Dẫn đến \(\widehat {AEF} = \widehat {ACB}.\)
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta AEF,\) có \(\widehat {BAC}\) chung và \(\widehat {AEF} = \widehat {ACB}\)
Suy ra (g.g)
Khi đó \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}\) hay \[AE \cdot AB = AF \cdot AC.\]
c)
Ta có \(\widehat {EAI} = \widehat {BCI}\) (cùng chắn cung \(BI\) của đường tròn \(\left( O \right)\)).
Ta có \(\widehat {EAI} + \widehat {AEF} = \widehat {BCI} + \widehat {ACB} = \widehat {ACI} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)).
Suy ra \(AI \bot EF.\)
Gọi \(K\) là trung điểm của \(AD\), ta có \(KJ{\rm{//}}AI\)
(đường trung bình của tam giác \(ADI\)).
Suy ra \(KJ \bot EF.\)
Mà \(KE = KF\) (do \(K\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(AEDF\)).
Suy ra \(KJ\) là đường trung trực của \(EF.\)
Suy ra \(JE = JF.\)
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
\(S = 2\pi Rh = 2 \cdot 3,14 \cdot \frac{{1,41}}{2} \cdot 2,14\)\( \approx 9,47\;{{\rm{m}}^2}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập