Khi quay hình chữ nhật \[ABCD\] (có \(AB > AD\)) một vòng quanh cạnh \[AB\] ta được một hình trụ có bán kính đáy bằng độ dài đoạn thẳng:

a) Ta có bảng giá trị:

Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) có dạng là đường cong parabol đi qua 5 điểm:

\(\left( { - 2;\,\,2} \right),\,\,\left( { - 1;\,\,\frac{1}{2}} \right),\,\,\left( {0;\,\,0} \right),\,\,\left( {1;\,\,\frac{1}{2}} \right),\,\,\left( {2;\,\,2} \right)\).

b) Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1 \cdot \left( {4m + 3} \right) = 4 - 4m - 3 = 1 - 4m\).

Để phương trình có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thì \(\Delta ' \ge 0\) hay \(1 - 4m \ge 0\) suy ra \(m \le \frac{1}{4}\).

Áp dụng định lí Viète ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 4}\\{{x_1}{x_2} = 4m + 3}\end{array}} \right.\).

Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = 9\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 9\)

\({4^2} - 2\left( {4m + 3} \right) = 9\)

\(16 - 8m - 6 = 9\)

\(10 - 8m = 9\)

\(8m = 1\)

\(m = \frac{1}{8}\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = \frac{1}{8}\) là giá trị cần tìm.

c) Gọi khoảng cách giữa điểm gãy với mặt đất là: \(x{\rm{ }}\left( {{\rm{m; }}0 < x < 9} \right)\).

Khi đó, khoảng cách từ điểm gãy đến ngọn là: \(9 - x\) (m).

Do điểm gãy, gốc cây, ngọn cây tạo thành một tam giác vuông nên ta có:

\({x^2} + {3^2} = {\left( {9 - x} \right)^2}\)

\({x^2} + 9 = 81 - 18x + {x^2}\)

\({x^2} + 9 - 81 + 18x - {x^2} = 0\)

\(18x - 72 = 0\)

\(x = 4\) (thỏa mãn).

Vậy khoảng cách điểm gãy đến mặt đất là \(4\) m.

a) Chứng minh tứ giác \(BCED\) nội tiếp

Do \(\widehat {BDA} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(\widehat {BDE} = 90^\circ \).

Lại có: \(\widehat {BCE} = 90^\circ \) (giả thiết).

Do đó, \(\Delta BDE\) và \(\Delta BCE\) là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền \(BE\).

Suy ra bốn điểm \(B,\,\,C,\,\,E,\,\,D\) thuộc đường tròn đường kính \(BE\).

Vậy tứ giác \(BCED\) nội tiếp

b) Chứng minh tam giác \(ABE\) là tam giác cân

Vẽ đường tròn tâm \(B\), bán kính \(R\). Khi đó, \(BD = BC = R\) (giả thiết), \(ED \bot BD\) tại \(D\) và \(EC \bot BC\) tại \(C\).

Do đó, \(ED\) và \(EC\) là hai tiếp tuyến của \(\left( {B;\,\,R} \right)\) cắt nhau tại \(E\).

Suy ra \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat {DBC}\) (1).

Vì \(OB = OD = BD = R\) nên \(\Delta OBD\) đều. Suy ra \(\widehat {OBD} = 60^\circ \) (2).

Khi đó, \(\widehat {DBC} = 120^\circ \) (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra: \(\widehat {OBD} = \widehat {DBE} = \frac{{\widehat {DBC}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \).

Do đó, \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABE}\).

\(\Delta ABE\) có \(BD\) vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên là tam giác cân (đpcm).