(1,0 điểm) Để mở rộng kinh doanh, một hộ kinh doanh đã vay tổng số tiền 700 triệu đồng, kì hạn một năm từ hai ngân hàng \({\bf{X}}\) và \({\bf{Y}}\) với lãi suất lần lượt là 8%/năm và 9%/năm. Sau đúng một năm kể từ ngày vay, hộ kinh doanh đó phải trả cho cả hai ngân hàng tổng số tiền lãi là 58 triệu đồng. Tính số tiền mà hộ kinh doanh đó đã vay từ mỗi ngân hàng.

a) Vì \(MA,MB\) là các tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] lần lượt tại \(A,B\) nên \(MA \bot OA,\,\,MB \bot OB.\)

\(\Delta MAO\) vuông tại \(A\) nên \(\Delta MAO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(MO\)

\(\Delta MBO\) vuông tại \(B\) nên \(\Delta MBO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(MO\)

Suy ra bốn điểm \(M,A,O,B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(MO.\)

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \(MA = MB\) nên \(M\) thuộc đường trung trực của \(AB\)

Mà \(OA = OB = R\) nên \(O\) thuộc đường trung trực của \(AB\)

Do đó, \(MO\) là đường trung trực của \(AB\)

Mà \(OM\) cắt \(AB\) tại \(I\) nên \(OM \bot AB\) và \(I\) là trung điểm của \(AB\).

Xét \(\Delta OAI\) và \(\Delta OMA\) có: \(\widehat {OIA} = \widehat {OAM} = 90^\circ ,\widehat {AOM}\) chung

Do đó $\Delta OAI\backsim \Delta OMA$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{OA}}{{OM}} = \frac{{OI}}{{OA}}\) hay \(OM \cdot OI = O{A^2} = {R^2}\) (1)

Xét \(\Delta OIK\) và \(\Delta OHM\) có: \(\widehat {OIK} = \widehat {OHM} = 90^\circ ,\widehat {HOM}\) chung

Do đó $\Delta OIK\backsim \Delta OHM$ (g.g)

Suy ra \(\frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{OK}}{{OM}}\) hay \(OI \cdot OM = OH \cdot OK\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(OH \cdot OK = {R^2}\).

c) Gọi \(E\prime \) là giao điểm của \(AC\) và \(OM\). Ta chứng minh \(E\prime \) là trung điểm của \(MI\).

Vì \(ME\prime \,{\rm{//}}\,AD\) nên \(\widehat {E\prime MC} = \widehat {CDA}\) (hai góc so le trong).

Xét \(\Delta ME\prime C\) và \(\Delta DAC\) có: \(\widehat {E\prime MC} = \widehat {CDA},\widehat {MCE\prime } = \widehat {ACD}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó $\Delta ME\text{'}C\backsim \Delta DAC$ (g.g).

Suy ra  \(\frac{{ME\prime }}{{DA}} = \frac{{MC}}{{DC}}\) (3)

Xét đường tròn \[\left( O \right)\] có: \(\widehat {BCD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét \(\Delta MCB\) và \(\Delta BCD\) có: \(\widehat {MCB} = \widehat {BCD} = 90^\circ ,\widehat {MBC} = \widehat {BDC}( = 90^\circ  - \widehat {CBD})\)

Do đó $\Delta MCB\backsim \Delta BCD$ (g.g), suy ra \(\frac{{MC}}{{BC}} = \frac{{CB}}{{CD}} = \frac{{MB}}{{BD}}\).

Khi đó \(\frac{{MC}}{{DC}} = \frac{{MC}}{{BC}} \cdot \frac{{CB}}{{CD}} = {\left( {\frac{{MB}}{{BD}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{MB}}{{2R}}} \right)^2}\) (4)

Xét \(\Delta ABD\) có \(I,O\) lần lượt là trung điểm của \(BA,BD\) nên \(IO\) là đường trung bình của \(\Delta ABD\) hay \(IO = \frac{1}{2}AD\) (5)

Xét \(\Delta MIB\) và \(\Delta BIO\) có: \(\widehat {MIB} = \widehat {BIO} = 90^\circ ,\widehat {MBI} = \widehat {BOI}( = 90^\circ  - \widehat {IBO})\)

Do đó $\Delta MIB\backsim \Delta BIO$ (g.g) suy ra  \(\frac{{MI}}{{BI}} = \frac{{IB}}{{IO}} = \frac{{MB}}{{BO}}\)

Khi đó \(\frac{{MI}}{{IO}} = \frac{{MI}}{{BI}} \cdot \frac{{IB}}{{IO}} = {\left( {\frac{{MB}}{{BO}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{MB}}{R}} \right)^2}\) (6)

Từ (3), (4), (5) và (6) suy ra \(\frac{{ME\prime }}{{DA}} = \frac{{MC}}{{DC}} = \frac{{M{B^2}}}{{4{R^2}}} = \frac{{MI}}{{4IO}} = \frac{{MI}}{{2AD}}\)

Nên \[MI = 2ME'\]  hay \(E'\) là trung điểm của \[MI\].

Do đó, \(E'\) trùng \[E\] nên ba điểm \[A,{\rm{ }}C,{\rm{ }}E\] thẳng hàng.

a) Hình chữ nhật \[ABCD\] nội tiếp đường tròn tâm \[O\] đường kính \[AC\]

Theo định lý Pythagore cho \(\Delta DAC\) vuông tại \[D\] thì:

\(A{C^2} = D{A^2} + D{C^2} = {x^2} + {y^2}\) nên \(AC = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \) (m).

Bán kính của hình tròn đường kính \[AC\] là: \(R = \frac{{AC}}{2} = \frac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{2}{\rm{ (m)}}\)

Diện tích của hình tròn đường kính \[AC\] là:

\({S_{{\rm{tron}}}} = \pi  \cdot {R^2} = \pi  \cdot {\left( {\frac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{2}} \right)^2} = \frac{\pi }{4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) (m2).

Diện tích phần đất làm khu sinh thái là:

\(S = {S_{{\rm{tron}}}} - {S_{{\rm{ABCD}}}} = \frac{\pi }{4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 67500\) (m2).

b) Bài toán trở thành: Cho \(x;y \in \mathbb{N}\) thỏa mãn \(xy = 67500\). Tìm giá trị nhỏ nhất của S.

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x \le y\)

Khi đó, \({x^2} \le xy = 67500\) nên \(x \le \sqrt {67500}  = 259,807...\)

Vì \(x \in \mathbb{N}\) nên \(x \le 259\) Mà \(x \in \)Ư\(\left( {67500} \right)\) nên \(x \le 250\) (vì các số 251; 252; 253;.; 259 đều không là ước của 67500)

\({\rm{Suy ra }}y = \frac{{67500}}{x} \ge \frac{{67500}}{{250}} = 270\)

Do đó, ta có bất đẳng thức:

\(\left( {x - 250} \right)\left( {y - 250} \right) \le 0\)

\(xy - 250\left( {x + y} \right) + 62500 \le 0\)

\(250\left( {x + y} \right) \ge 67500 + 62500 = 130000\)

\(x + y \ge 520\)

Suy ra \({x^2} + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy \ge {520^2} - 2 \cdot 67500 = 135400\)

\({\rm{N\^e n }}S \ge 135400 \cdot \frac{\pi }{4} - 67500 = 33850\pi  - 67500\) (m2)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 250\) và \(y = 270\).

Khi đó, chu vi của mảnh đất \[ABCD\] là \(2\left( {x + y} \right) = 2 \cdot \left( {250 + 270} \right) = 1040\) (m).