(0,5 điểm) Một doanh nghiệp muốn quy hoạch một khu đất có dạng hình chữ nhật \(ABCD\) với diện tích \(67500{{\rm{m}}^2}\) để làm khu liên hợp thể thao. Khu đất quy hoạch \(ABCD\) được mở rộng thành một khu đất có dạng là hình tròn đường kính \(AC\) và phần đất mở rộng thêm đó được dùng làm khu sinh thái (minh họa hình vẽ bên). Gọi \(x\) và \(y\) (theo đơn vị mét) là các kích thước của hình chữ nhật \(ABCD\).
![Khi đó, chu vi của mảnh đất \[ABCD\] là \(2 (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/09/image-d8ql2rb8tdsybfm3jfvd-1788993520.png)
a) Tính diện tích phần đất làm khu sinh thái theo \(x\) và \(y\).
b) Doanh nghiệp muốn thiết kế sao cho các kích thước \(x,y\) là các số tự nhiên và phần diện tích đất làm khu sinh thái đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, hãy tính chu vi của khu đất \(ABCD\) theo đơn vị mét.
(0,5 điểm) Một doanh nghiệp muốn quy hoạch một khu đất có dạng hình chữ nhật \(ABCD\) với diện tích \(67500{{\rm{m}}^2}\) để làm khu liên hợp thể thao. Khu đất quy hoạch \(ABCD\) được mở rộng thành một khu đất có dạng là hình tròn đường kính \(AC\) và phần đất mở rộng thêm đó được dùng làm khu sinh thái (minh họa hình vẽ bên). Gọi \(x\) và \(y\) (theo đơn vị mét) là các kích thước của hình chữ nhật \(ABCD\).
a) Tính diện tích phần đất làm khu sinh thái theo \(x\) và \(y\).
b) Doanh nghiệp muốn thiết kế sao cho các kích thước \(x,y\) là các số tự nhiên và phần diện tích đất làm khu sinh thái đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, hãy tính chu vi của khu đất \(ABCD\) theo đơn vị mét.
Câu hỏi trong đề: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026 Thanh Hóa !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Hình chữ nhật \[ABCD\] nội tiếp đường tròn tâm \[O\] đường kính \[AC\]
Theo định lý Pythagore cho \(\Delta DAC\) vuông tại \[D\] thì:
\(A{C^2} = D{A^2} + D{C^2} = {x^2} + {y^2}\) nên \(AC = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \) (m).
Bán kính của hình tròn đường kính \[AC\] là: \(R = \frac{{AC}}{2} = \frac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{2}{\rm{ (m)}}\)
Diện tích của hình tròn đường kính \[AC\] là:
\({S_{{\rm{tron}}}} = \pi \cdot {R^2} = \pi \cdot {\left( {\frac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{2}} \right)^2} = \frac{\pi }{4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) (m2).
Diện tích phần đất làm khu sinh thái là:
\(S = {S_{{\rm{tron}}}} - {S_{{\rm{ABCD}}}} = \frac{\pi }{4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 67500\) (m2).
b) Bài toán trở thành: Cho \(x;y \in \mathbb{N}\) thỏa mãn \(xy = 67500\). Tìm giá trị nhỏ nhất của S.
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x \le y\)
Khi đó, \({x^2} \le xy = 67500\) nên \(x \le \sqrt {67500} = 259,807...\)
Vì \(x \in \mathbb{N}\) nên \(x \le 259\) Mà \(x \in \)Ư\(\left( {67500} \right)\) nên \(x \le 250\) (vì các số 251; 252; 253;.; 259 đều không là ước của 67500)
\({\rm{Suy ra }}y = \frac{{67500}}{x} \ge \frac{{67500}}{{250}} = 270\)
Do đó, ta có bất đẳng thức:
\(\left( {x - 250} \right)\left( {y - 250} \right) \le 0\)
\(xy - 250\left( {x + y} \right) + 62500 \le 0\)
\(250\left( {x + y} \right) \ge 67500 + 62500 = 130000\)
\(x + y \ge 520\)
Suy ra \({x^2} + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy \ge {520^2} - 2 \cdot 67500 = 135400\)
\({\rm{N\^e n }}S \ge 135400 \cdot \frac{\pi }{4} - 67500 = 33850\pi - 67500\) (m2)
Dấu “=” xảy ra khi \(x = 250\) và \(y = 270\).
Khi đó, chu vi của mảnh đất \[ABCD\] là \(2\left( {x + y} \right) = 2 \cdot \left( {250 + 270} \right) = 1040\) (m).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Đáp án đúng là: B
\(\sqrt {\frac{4}{9}} + \sqrt[3]{{\frac{{ - 8}}{{27}}}} = \frac{2}{3} + \frac{{ - 2}}{3} = 0.\)
Câu 2
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Thay tọa độ điểm \(M\left( { - 2;12} \right)\) vào hàm số \(y = a{x^2}\), ta có:
\(12 = a \cdot {\left( { - 2} \right)^2}\) hay \(12 = 4a\), suy ra \(a = 3\).
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập