Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}}\) thỏa mãn \(F\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) = k + 1\) với mọi \(k \in \mathbb{Z}\). Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?
\(F\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
\(F\left( x \right) = {\rm{cot}}x + k\) trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\pi + k\pi } \right)\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: Sai – Đúng – Đúng.
Ta có \(F\left( x \right) = \mathop \smallint \nolimits^ f\left( x \right){\rm{d}}x = \mathop \smallint \nolimits^ \frac{{ - 1}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}}{\rm{\;d}}x = {\rm{cot}}x + C\).
Do \(F\left( x \right)\) không xác định tại \(x = l\pi ,l \in \mathbb{Z}\) nên phát biểu \(F\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) là sai.
Xét trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\pi + k\pi } \right)\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) thì \(F\left( x \right) = {\rm{cot}}x + {C_k}\).
Có \(\frac{\pi }{4} + k\pi \in \left( {k\pi ;\pi + k\pi } \right)\) mà \(F\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) = k + 1\) với mọi \(k \in \mathbb{Z}\) nên
\({\rm{cot}}\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) + {C_k} = k + 1\) hay \({C_k} = k\) với mọi \(k \in \mathbb{Z}\).
Vậy \(F\left( x \right) = {\rm{cot}}x + k\) trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\pi + k\pi } \right)\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) nên phát biểu thứ hai đúng.
Vậy \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + \pi } \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2\pi } \right) + \ldots + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2023\pi } \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2024\pi } \right)\)
\( = {\rm{cot}}\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + {C_0} + {\rm{cot}}\left( {\frac{\pi }{2} + \pi } \right) + {C_1} + \ldots + {\rm{cot}}\left( {\frac{\pi }{2} + 2023\pi } \right) + {C_{2023}} + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2024\pi } \right) + {C_{2024}}\)
\( = 0 + 1 + 2 + \ldots + 2023 + 2024\)
\( = \frac{{2024\left( {2024 + 1} \right)}}{2} = 2049300\) nên phát biểu thứ ba đúng.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
\(\phi (1) = 1\).
\(\phi (4) = 3\).
\(\phi (9) = 6\).
Lời giải
Đáp án: \(\phi (1) = 1\); \(\phi (9) = 6\).
Số các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với 1 là 1.
Khi đó \(\phi (1) = 1\)
Với \(N = 4\) thì các số nguyên tố cùng nhau với 4 là \(1;3\).
Khi đó \(\phi (4) = 2\)
Với \(N = 9\) thì các số nguyên tố cùng nhau với 9 là: \(1;2;4;5;7;8 \Rightarrow \phi (9) = 6\).
Với \(N = 10\) thì các số nguyên tố cùng nhau với 10 là \(1;3;7;9 \Rightarrow \phi (10) = 4\).
Lời giải
Đáp án: 240
Đặt \(R = 6\left( {{\rm{cm}}} \right),h = 10\left( {{\rm{cm}}} \right)\). Gán hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm \(x\left( { - 6 \le x \le 6} \right)\) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là \(S\left( x \right)\).
Ta thấy thiết diện đó là một tam giác vuông, giả sử là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) như trong hình vẽ.
Ta có \(S\left( x \right) = {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot BC = \frac{1}{2}B{C^2}{\rm{tan}}\alpha \)\( = \frac{1}{2}\left( {{R^2} - {x^2}} \right)\frac{h}{R} = \frac{{5{\rm{\;}}\left( {36 - {x^2}} \right)}}{6}\).
Vậy thể tích lượng nước trong cốc là \(V = \int\limits_{ - 6}^6 {S\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 6}^6 {\frac{{5\left( {36 - {x^2}} \right)}}{6}{\rm{\;d}}x} = 240\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đường thẳng \(d\) vuông góc mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) có phương trình là \({\rm{\Delta }}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = - 1 - 2t}\end{array}} \right.\).
Tọa độ giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\) là điểm \(C\left( {\frac{1}{3};\frac{{ - 5}}{3};6} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Số phần tử của không gian mẫu là 400.
Xác suất để sinh viên \(A\) rút được câu từ hộp thứ nhất là \(\frac{2}{3}\).
Xác suất để sinh viên \(A\) rút được câu thuộc từ hộp thứ nhất là \(\frac{1}{4}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
\(\frac{8}{3}\).
\( - \frac{1}{3}\).
\(\frac{{22}}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập