Một tổ có 5 nam và 7 nữ. Chọn ngẫu nhiên hai bạn. Tính xác suất sao cho trong hai bạn được chọn có ít nhất một bạn là nam.

Đáp án: 113.

Gọi \(A\) và \(B\) lần lượt là biến cố thịt lợn và gạo giảm giá trong một phiên giao dịch.

Đặt \(a = P\left( A \right)\) và \(b = P\left( B \right)\) với \(a,b \in \left[ {0;\,1} \right]\).

Khi đó ta có: \(\frac{2}{5} = P\left( {A\mid \overline B } \right) = \frac{{P\left( {A\overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{P\left( A \right) - P\left( {AB} \right)}}{{1 - P\left( B \right)}} = \frac{{a - 0,1}}{{1 - b}} \Rightarrow 5a + 2b = 2,5\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Tương tự: \(\frac{4}{7} = P\left( {B\mid \overline A } \right) = \frac{{P\left( {B\overline A } \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)}}{{1 - P\left( A \right)}} = \frac{{b - 0,1}}{{1 - a}} \Rightarrow 4a + 7b = 4,7\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5a + 2b = 2,5\\4a + 7b = 4,7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0,3\\b = 0,5\end{array} \right.\).

Xác suất để có ít nhất một trong hai hàng hoá thịt lợn và gạo giảm giá trong một phiên giao dịch là \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,7 = \frac{7}{{10}} = \frac{m}{n} \Rightarrow 9m + 5n = 113\).

Đáp án: 2087; 1980.

Ta thấy: \(1936 = {44^2} < 2024 < {45^2} = 2025\).

\( \Rightarrow \) Trong 2024 số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có 44 số chính phương.

\( \Rightarrow \) Số 2024 là số hạng thứ \(2024 - 44 = 1980\) của dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\).

Trong dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) từ số hạng thứ 1981 đến số hạng thứ 2042 , có 61 số không là số chính phương.

Sau số chính phương \(2025\left( { = {{45}^2}} \right)\) thì số chính phương tiếp theo là \(2116\left( { = {{46}^2}} \right)\).

\( \Rightarrow \) Có 90 số không là số chính phương trong dãy số tự nhiên từ 2026 đến 2115.

\( \Rightarrow \) Số hạng thứ 2042 của dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là: \(2026 + 61 = 2087\).