Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 27

Đáp án: \[M\left( { - \frac{1}{2}\,;\,\frac{3}{2};\, - \frac{{13}}{4}} \right)\].

Gọi \[M\left( {x;\,y;\,z} \right)\], ta có \[\overrightarrow {BM} = \left( {x - 7;\,y - 4;\,z + 2} \right),\,\overrightarrow {MA} \, = \left( {1 - x;\,2 - y;\, - 3 - z} \right).\]

\[\overrightarrow {BM} = - 5\overrightarrow {MA} \, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 7 = - 5\left( {1 - x} \right)\\y - 4 = - 5\left( {2 - y} \right)\\z + 2 = - 5\left( { - 3 - z} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\y = \frac{3}{2}\\z = - \frac{{13}}{4}\end{array} \right.\]

Vậy \[M\left( { - \frac{1}{2}\,;\,\frac{3}{2};\, - \frac{{13}}{4}} \right)\].

Đáp án: Sai – Sai – Đúng.

Số hạng thứ hai của cấp số cộng là \({u_2} = {u_1} + d = 2 + 3 = 5\) nên phát biểu thứ nhất sai.

Tổng \(100\;\)số hạng đầu của cấp số cộng là

\({S_{100}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] \cdot n}}{2} = \frac{{\left[ {2 \cdot 2 + \left( {100 - 1} \right) \cdot 3} \right] \cdot 100}}{2} = 15\;050\) nên phát biểu thứ hai sai.

Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2 + \left( {n - 1} \right) \cdot 3 = 3n - 1\).

Xét \(44 = 3n - 1 \Rightarrow n = 15 \in {\mathbb{N}^*}.\) Do đó \(44\) là một số hạng của cấp số cộng đã cho nên phát biểu thứ ba đúng.

Đáp án: 8934.

Diện tích miếng tôn hình tròn là: \({S_1} = \pi {R^2} = 100\pi \,\left( {{m^2}} \right)\).

Xét hệ tọa độ Oxy như hình vẽ

Phương trình của đường tròn tâm O, bán kính bằng 10 là: \({x^2} + {y^2} = 100\).

Phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn là: \(y = \sqrt {100 - {x^2}} \) .

Từ \(AB = 12 \Rightarrow {y_A} = 6 \Rightarrow {x_A} = 8\).

Diện tích phần tấm tôn trống là \({S_2} = 2\int\limits_8^{10} {\sqrt {100 - {x^2}} {\rm{d}}x} {\rm{ (}}{{\rm{m}}^2})\).

Diện tích phần tấm tôn trang trí là:

\[S = {S_1} - {S_2} = 100\pi - 2\int\limits_8^{10} {\sqrt {100 - {x^2}} {\rm{d}}x} \,\,{\rm{ (}}{{\rm{m}}^2})\] .

Vậy số tiền chi phí là:

\(T = 30\left( {100\pi - 2\int\limits_8^{10} {\sqrt {100 - {x^2}} {\rm{d}}x} } \right) \approx 8934\) (nghìn đồng).

Đáp án: \(\frac{{15}}{{22}}.\)

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{12}^2 = 66.\)

Gọi \(A\) là biến cố hai người có ít nhất một người là nam. Do đó \(\overline A \) là biến cố cả hai bạn là nữ.

Ta có \(n\left( {\overline A } \right) = 21 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{21}}{{66}} = \frac{7}{{22}}.\)

Vậy \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = \frac{{15}}{{22}}.\)

Đáp án: Đúng – Đúng – Sai – Đúng.

Xét mẫu số liệu của lớp 10A:

Cỡ mẫu \[{n_A} = 3 + 16 + 9 + 6 + 4 = 38\].

Xét mẫu số liệu của lớp 10B:

Cỡ mẫu \[{n_B} = 0 + 15 + 13 + 4 + 6 = 38\] nên phát biểu thứ nhất đúng.

Xét mẫu số liệu của lớp 10A: \[\overline {{x_A}} = \frac{{3 \cdot 3,25 + 16 \cdot 4,75 + 9 \cdot 6,25 + 6 \cdot 7,75 + 4 \cdot 9,25}}{{38}} = \frac{{451}}{{76}} \approx 5,93\].

Xét mẫu số liệu của lớp 10B: \[\overline {{x_B}} = \frac{{0 \cdot 3,25 + 15 \cdot 4,75 + 13 \cdot 6,25 + 4 \cdot 7,75 + 6 \cdot 9,25}}{{38}} = \frac{{239}}{{38}} \approx 6,29\].

Có \(6,29 - 5,93 = 0,36\) nên điểm kiểm tra trung bình của hai lớp chênh lệch nhau không quá 0,5 điểm nên phát biểu thứ hai đúng.

Phương sai của mẫu số liệu của lớp 10A là

\[{S^2} = \frac{1}{{38}}\left( {3 \cdot 3,{{25}^2} + 16 \cdot 4,{{75}^2} + 9 \cdot 6,{{25}^2} + 6 \cdot 7,{{75}^2} + 4 \cdot 9,{{25}^2}} \right) - {\left( {\frac{{451}}{{76}}} \right)^2} \approx 2,86\].

Phương sai của mẫu số liệu của lớp 10B là

\[{S^2} = \frac{1}{{38}}(0 \cdot 3,{25^2} + 15 \cdot 4,{75^2} + 13 \cdot 6,{25^2} + 4 \cdot 7,{75^2} + 6 \cdot 9,{25^2}) - {\left( {\frac{{239}}{{38}}} \right)^2} \approx 2,54\] nên phát biểu thứ ba sai.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu của lớp 10A là: \[{S_A} = \sqrt {2,86} \].

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu của lớp 10B là: \[{S_B} = \sqrt {2,54} \].

Do \[{S_B} < {S_A}\] nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh lớp 10B có điểm kiểm tra ít phân tán hơn học sinh lớp 10A nên phát biểu thứ tư đúng.

Đáp án: 12.

Ta có:

\( \Rightarrow {V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{3}{2} \cdot {V_{C.AB{B_1}{A_1}}} = \frac{3}{2} \cdot 8 = 12\) (đvtt).

Đáp án: \(N\left( {1;1;2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2;1} \right)\), vectơ pháp tuyến mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Theo đề bài ta có vectơ pháp tuyến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {4; - 3; - 2} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \(4x - 3y - 2z + C = 0\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {0;1;0} \right)\) nên \( - 3 + C = 0 \Leftrightarrow C = 3\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(4x - 3y - 2z + 3 = 0\).

Thế tọa độ các điểm \(M\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\); \(N\left( {1;1;2} \right)\);\(R\left( { - 3;0;0} \right)\);\(Q\left( {0;0; - 3} \right)\) vào phương trình \(\left( P \right)\) ta thấy tọa độ \(N\left( {1;1;2} \right)\) thỏa mãn phương trình. Do đó \(\left( P \right)\)đi qua \(N\left( {1;1;2} \right)\).

Đáp án: Phát biểu thứ nhất và phát biểu thứ ba.

Ta có \[\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right) = 3 - \left( { - 2} \right) = 5\].

\[\int\limits_2^5 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_2^5 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 3 - 2 = 1\].

Ta có \(\int\limits_1^3 {\left[ {1 + g\left( x \right)} \right]} {\rm{d}}x = \left. {\left[ {x + G\left( x \right)} \right]} \right|_1^3 = \left. {\left( {x + {x^3}} \right)} \right|_1^3 = 30 - 2 = 28\).

Ta có : \[\int\limits_3^5 {\frac{{2x + 1}}{{x - 2}}dx = \int\limits_3^5 {\frac{{2\left( {x - 2} \right) + 5}}{{x - 2}}dx = } } \int\limits_3^5 {2 + \frac{5}{{x - 2}}dx} \]

\[ = \left. {\left( {2x + 5\ln \left| {x - 2} \right|} \right)} \right|_3^5 = \left( {10 + 5\ln 3} \right) - \left( {6 + 5\ln 1} \right) = 4 + 5\ln 3\].

Ta có:\[a + b + c = 4 + 5 + 3 = 12\].