Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ:

Giá trị cực đại của hàm số bằng

Gọi \(B'\) là vị trí của đỉnh \(B\) sau khi gấp, \(B' \in CD\).

Đặt \(CB' = t\), \(BN = NB' = y\), \(BM = MB' = x\).

Tam giác \(NCB'\) vuông tại \(C\): \({y^2} = {\left( {10 - y} \right)^2} + {t^2}\), suy ra \(y = \frac{{{t^2} + 100}}{{20}}\).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(M\) lên \(CD\).

Ta có \(MK = 10\) và \(KB' = \left| {x - t} \right|\), nên \({x^2} = 100 + {\left( {x - t} \right)^2}\), suy ra \(x = \frac{{{t^2} + 100}}{{2t}}\).

Điều kiện: \(y \le 10 \Leftrightarrow t \le 10\); \(x \le 15 \Leftrightarrow {t^2} - 30t + 100 \le 0 \Leftrightarrow 15 - 5\sqrt 5  \le t \le 15 + 5\sqrt 5 \).

Kết hợp lại được \(t \in \left[ {15 - 5\sqrt 5 ;\,\,10} \right]\).

Khi đó \(M{N^2} = {x^2} + {y^2} = {\left( {{t^2} + 100} \right)^2}\left( {\frac{1}{{4{t^2}}} + \frac{1}{{400}}} \right) = \frac{{{{\left( {{t^2} + 100} \right)}^3}}}{{400{t^2}}}\).

Đặt \(s = {t^2}\), \(s \in \left[ {{{\left( {15 - 5\sqrt 5 } \right)}^2};100} \right]\), và xét \(g\left( s \right) = \frac{{{{\left( {s + 100} \right)}^3}}}{s}\).

Ta có \(g'\left( s \right) = \frac{{{{\left( {s + 100} \right)}^2}\left( {2s - 100} \right)}}{{{s^2}}}\), và \(g'\left( s \right) = 0 \Leftrightarrow s = 50\), thuộc đoạn đang xét.

\(g\) nghịch biến trước \(s = 50\) và đồng biến sau \(s = 50\), nên \(g\) nhỏ nhất tại \(s = 50\).

Suy ra \(MN_{{\rm{min}}}^2 = \frac{{{{150}^3}}}{{400 \cdot 50}} = \frac{{675}}{4}\), tức \(M{N_{{\rm{min}}}} = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \(a = 15\), \(b = 3\), \(c = 2\) và \(a + b + c = 20\).

Đáp án: 20.

Giá bán là hàm bậc nhất của số lượng: cứ bán thêm 100 chiếc thì giá giảm 30 nghìn đồng, và tại \(x = 500\) thì giá là 300 nghìn đồng.

Do đó \(p\left( x \right) = 300 - 0,3\left( {x - 500} \right) = 450 - 0,3x\) (nghìn đồng), tức \(p\left( x \right) = 0,45 - 0,0003x\) (triệu đồng).

Lợi nhuận \(L\left( x \right) = x \cdot p\left( x \right) - C\left( x \right) =  - 0,0003{x^2} + 0,33x - 50\) (triệu đồng).

\(L\left( x \right)\) là hàm bậc hai có hệ số \(a < 0\), nên đạt giá trị lớn nhất tại \(x =  - \frac{{0,33}}{{2 \cdot \left( { - 0,0003} \right)}} = 550\).

Khi đó giá bán là \(p\left( {550} \right) = 450 - 165 = 285\) nghìn đồng.

Đáp án: 285.