Tại một xưởng cơ khí, người ta dùng cần cẩu để di chuyển một kiện hàng. Kiện hàng nặng 50 kg được đặt trên một tấm ván gỗ hình vuông nặng 10 kg. Tấm ván được giữ cân bằng nằm ngang gồm 4 sợi dây cáp nhẹ, không giãn có độ dài bằng nhau. Một đầu của mỗi sợi dây cáp được gắn cố định vào một góc tấm ván, bốn đầu còn lại cùng được xỏ vào móc của cần cẩu. Khi cần cẩu nâng kiện hàng lên theo phương thẳng đứng, mỗi sợi dây cáp hợp với mặt phẳng tấm ván một góc \(60^\circ \). Lấy gia tốc rơi tự do \(g = 10\) m/s². Lực căng của mỗi sợi dây cáp nối từ góc tấm ván đến móc của cần cẩu bằng bao nhiêu Newton? Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Gọi \(B'\) là vị trí của đỉnh \(B\) sau khi gấp, \(B' \in CD\).

Đặt \(CB' = t\), \(BN = NB' = y\), \(BM = MB' = x\).

Tam giác \(NCB'\) vuông tại \(C\): \({y^2} = {\left( {10 - y} \right)^2} + {t^2}\), suy ra \(y = \frac{{{t^2} + 100}}{{20}}\).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(M\) lên \(CD\).

Ta có \(MK = 10\) và \(KB' = \left| {x - t} \right|\), nên \({x^2} = 100 + {\left( {x - t} \right)^2}\), suy ra \(x = \frac{{{t^2} + 100}}{{2t}}\).

Điều kiện: \(y \le 10 \Leftrightarrow t \le 10\); \(x \le 15 \Leftrightarrow {t^2} - 30t + 100 \le 0 \Leftrightarrow 15 - 5\sqrt 5  \le t \le 15 + 5\sqrt 5 \).

Kết hợp lại được \(t \in \left[ {15 - 5\sqrt 5 ;\,\,10} \right]\).

Khi đó \(M{N^2} = {x^2} + {y^2} = {\left( {{t^2} + 100} \right)^2}\left( {\frac{1}{{4{t^2}}} + \frac{1}{{400}}} \right) = \frac{{{{\left( {{t^2} + 100} \right)}^3}}}{{400{t^2}}}\).

Đặt \(s = {t^2}\), \(s \in \left[ {{{\left( {15 - 5\sqrt 5 } \right)}^2};100} \right]\), và xét \(g\left( s \right) = \frac{{{{\left( {s + 100} \right)}^3}}}{s}\).

Ta có \(g'\left( s \right) = \frac{{{{\left( {s + 100} \right)}^2}\left( {2s - 100} \right)}}{{{s^2}}}\), và \(g'\left( s \right) = 0 \Leftrightarrow s = 50\), thuộc đoạn đang xét.

\(g\) nghịch biến trước \(s = 50\) và đồng biến sau \(s = 50\), nên \(g\) nhỏ nhất tại \(s = 50\).

Suy ra \(MN_{{\rm{min}}}^2 = \frac{{{{150}^3}}}{{400 \cdot 50}} = \frac{{675}}{4}\), tức \(M{N_{{\rm{min}}}} = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \(a = 15\), \(b = 3\), \(c = 2\) và \(a + b + c = 20\).

Đáp án: 20.

Giá bán là hàm bậc nhất của số lượng: cứ bán thêm 100 chiếc thì giá giảm 30 nghìn đồng, và tại \(x = 500\) thì giá là 300 nghìn đồng.

Do đó \(p\left( x \right) = 300 - 0,3\left( {x - 500} \right) = 450 - 0,3x\) (nghìn đồng), tức \(p\left( x \right) = 0,45 - 0,0003x\) (triệu đồng).

Lợi nhuận \(L\left( x \right) = x \cdot p\left( x \right) - C\left( x \right) =  - 0,0003{x^2} + 0,33x - 50\) (triệu đồng).

\(L\left( x \right)\) là hàm bậc hai có hệ số \(a < 0\), nên đạt giá trị lớn nhất tại \(x =  - \frac{{0,33}}{{2 \cdot \left( { - 0,0003} \right)}} = 550\).

Khi đó giá bán là \(p\left( {550} \right) = 450 - 165 = 285\) nghìn đồng.

Đáp án: 285.