PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Trong một sân vận động, chọn hệ tọa độ \(Oxyz\), đơn vị đo là mét, trong đó mặt sân nằm trên mặt phẳng \(Oxy\) và trục \(Oz\) vuông góc với mặt sân. Một hệ thống camera tự động được lắp trên một thanh ray cố định ở phía trên sân. Hai đầu của thanh ray lần lượt có tọa độ là \[A\left( {0;\,\,6;\,\,8} \right)\] và \[B\left( {12;\,\,6;\,\,8} \right)\] Camera có thể di chuyển dọc theo đoạn ray \(AB\). Một cầu thủ đang đứng cố định tại vị trí \(C\left( {6;\,\,0;\,\,0} \right)\). Gọi \(M\) là vị trí của camera. Để hình ảnh cầu thủ rõ nét, nhà sản xuất quy định độ phóng đại hiệu dụng của camera tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ camera đến cầu thủ. Do đó để hình ảnh đạt chất lượng cao nhất, cần tìm vị trí của điểm \(M\) để khoảng cách \(CM\) nhỏ nhất. Điểm \(M\) cách đầu ray \(A\) bao nhiêu mét để khoảng cách từ camera đến cầu thủ là nhỏ nhất?

Gọi \(B'\) là vị trí của đỉnh \(B\) sau khi gấp, \(B' \in CD\).

Đặt \(CB' = t\), \(BN = NB' = y\), \(BM = MB' = x\).

Tam giác \(NCB'\) vuông tại \(C\): \({y^2} = {\left( {10 - y} \right)^2} + {t^2}\), suy ra \(y = \frac{{{t^2} + 100}}{{20}}\).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(M\) lên \(CD\).

Ta có \(MK = 10\) và \(KB' = \left| {x - t} \right|\), nên \({x^2} = 100 + {\left( {x - t} \right)^2}\), suy ra \(x = \frac{{{t^2} + 100}}{{2t}}\).

Điều kiện: \(y \le 10 \Leftrightarrow t \le 10\); \(x \le 15 \Leftrightarrow {t^2} - 30t + 100 \le 0 \Leftrightarrow 15 - 5\sqrt 5  \le t \le 15 + 5\sqrt 5 \).

Kết hợp lại được \(t \in \left[ {15 - 5\sqrt 5 ;\,\,10} \right]\).

Khi đó \(M{N^2} = {x^2} + {y^2} = {\left( {{t^2} + 100} \right)^2}\left( {\frac{1}{{4{t^2}}} + \frac{1}{{400}}} \right) = \frac{{{{\left( {{t^2} + 100} \right)}^3}}}{{400{t^2}}}\).

Đặt \(s = {t^2}\), \(s \in \left[ {{{\left( {15 - 5\sqrt 5 } \right)}^2};100} \right]\), và xét \(g\left( s \right) = \frac{{{{\left( {s + 100} \right)}^3}}}{s}\).

Ta có \(g'\left( s \right) = \frac{{{{\left( {s + 100} \right)}^2}\left( {2s - 100} \right)}}{{{s^2}}}\), và \(g'\left( s \right) = 0 \Leftrightarrow s = 50\), thuộc đoạn đang xét.

\(g\) nghịch biến trước \(s = 50\) và đồng biến sau \(s = 50\), nên \(g\) nhỏ nhất tại \(s = 50\).

Suy ra \(MN_{{\rm{min}}}^2 = \frac{{{{150}^3}}}{{400 \cdot 50}} = \frac{{675}}{4}\), tức \(M{N_{{\rm{min}}}} = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \(a = 15\), \(b = 3\), \(c = 2\) và \(a + b + c = 20\).

Đáp án: 20.

Giá bán là hàm bậc nhất của số lượng: cứ bán thêm 100 chiếc thì giá giảm 30 nghìn đồng, và tại \(x = 500\) thì giá là 300 nghìn đồng.

Do đó \(p\left( x \right) = 300 - 0,3\left( {x - 500} \right) = 450 - 0,3x\) (nghìn đồng), tức \(p\left( x \right) = 0,45 - 0,0003x\) (triệu đồng).

Lợi nhuận \(L\left( x \right) = x \cdot p\left( x \right) - C\left( x \right) =  - 0,0003{x^2} + 0,33x - 50\) (triệu đồng).

\(L\left( x \right)\) là hàm bậc hai có hệ số \(a < 0\), nên đạt giá trị lớn nhất tại \(x =  - \frac{{0,33}}{{2 \cdot \left( { - 0,0003} \right)}} = 550\).

Khi đó giá bán là \(p\left( {550} \right) = 450 - 165 = 285\) nghìn đồng.

Đáp án: 285.