Trong một khu bảo tồn động vật hoang dã, người ta đang nghiên cứu \(600\)con vật, trong đó có \(360\) con báo đốm và \(240\) con sư tử. Sau khi thống kê, người ta thấy có \(60\% \) số báo đốm đã được tiêm phòng và \(45\% \) số sư tử đã được tiêm phòng.

Đáp án: 16.

Đặt \[HE = x\,\,{\rm{v\`a }}\,\,FK = y\], với \[0 < x,\,y < 24\].

Ta có \[HE + KF = 24 \Rightarrow x + y = 24\]. Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}AE = \sqrt {25 + {x^2}} \\BF = \sqrt {49 + {y^2}} = \sqrt {49 + {{\left( {24 - x} \right)}^2}} \end{array} \right.\].

Ta thấy quãng đường \(AEFB\) ngắn nhất khi \[AE + BF\] nhỏ nhất (vì \[EF\] không đổi).

Xét hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 25} + \sqrt {{{\left( {24 - x} \right)}^2} + 49} \].

\[f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 25} }} + \frac{{x - 24}}{{\sqrt {{x^2} - 48x + 625} }},\,\forall x \in \left( {0;24} \right)\].

Cho \[f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = 10\]. Ta có bảng biến thiên:

Vậy GTNN của \[f\left( x \right)\] bằng \[12\sqrt 5 \] tại \[x = 10 \Rightarrow BF = 7\sqrt 5 \approx 16\,{\rm{km}}\].

Đáp án: 150.

Ta có \(\overrightarrow {E{A_1}} = \left( {0;1; - 6} \right);\overrightarrow {E{A_2}} = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2}; - 6} \right);\overrightarrow {E{A_3}} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2}; - 6} \right) \Rightarrow E{A_1} = E{A_2} = E{A_3} = \sqrt {37} \).

Vì \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{A_2}{A_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{A_3}{A_1}} } \right| = \sqrt 3 \) nên tam giác \({A_1}{A_2}{A_3}\) đều. Do đó, \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|\).

Vì vậy, tồn tại hằng số \(k\,\,\left( {k \ne 0} \right)\) sao cho:

$\overrightarrow{F_1}=k\overrightarrow{E{A}_1}=\left(0;k;-6k\right);\overrightarrow{F_2}=k\overrightarrow{E{A}_2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k;-\frac{1}{2}k;-6k\right);\overrightarrow{F_3}=k\overrightarrow{E{A}_3}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}k;-\frac{1}{2}k;-6k\right)$

Suy ra \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \left( {0;0; - 18k} \right)\).

Mặt khác, ta có \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \vec P\), trong đó \(\overrightarrow P = \left( {0;0; - 300} \right)\) là trọng lực tác dụng lên máy quay.

Suy ra \( - 18k = 300\), tức là \(k = \frac{{50}}{3}\). Vậy \(\overrightarrow {{F_1}} = \left( {0;\frac{{50}}{3}; - 100} \right)\). Khi đó, \(a + 3b - c = 150\).