Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Đáp án: 16.

Đặt \[HE = x\,\,{\rm{v\`a }}\,\,FK = y\], với \[0 < x,\,y < 24\].

Ta có \[HE + KF = 24 \Rightarrow x + y = 24\]. Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}AE = \sqrt {25 + {x^2}} \\BF = \sqrt {49 + {y^2}} = \sqrt {49 + {{\left( {24 - x} \right)}^2}} \end{array} \right.\].

Ta thấy quãng đường \(AEFB\) ngắn nhất khi \[AE + BF\] nhỏ nhất (vì \[EF\] không đổi).

Xét hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 25} + \sqrt {{{\left( {24 - x} \right)}^2} + 49} \].

\[f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 25} }} + \frac{{x - 24}}{{\sqrt {{x^2} - 48x + 625} }},\,\forall x \in \left( {0;24} \right)\].

Cho \[f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = 10\]. Ta có bảng biến thiên:

Vậy GTNN của \[f\left( x \right)\] bằng \[12\sqrt 5 \] tại \[x = 10 \Rightarrow BF = 7\sqrt 5 \approx 16\,{\rm{km}}\].

Đáp án: 150.

Ta có \(\overrightarrow {E{A_1}} = \left( {0;1; - 6} \right);\overrightarrow {E{A_2}} = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2}; - 6} \right);\overrightarrow {E{A_3}} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2}; - 6} \right) \Rightarrow E{A_1} = E{A_2} = E{A_3} = \sqrt {37} \).

Vì \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{A_2}{A_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{A_3}{A_1}} } \right| = \sqrt 3 \) nên tam giác \({A_1}{A_2}{A_3}\) đều. Do đó, \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|\).

Vì vậy, tồn tại hằng số \(k\,\,\left( {k \ne 0} \right)\) sao cho:

$\overrightarrow{F_1}=k\overrightarrow{E{A}_1}=\left(0;k;-6k\right);\overrightarrow{F_2}=k\overrightarrow{E{A}_2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k;-\frac{1}{2}k;-6k\right);\overrightarrow{F_3}=k\overrightarrow{E{A}_3}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}k;-\frac{1}{2}k;-6k\right)$

Suy ra \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \left( {0;0; - 18k} \right)\).

Mặt khác, ta có \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \vec P\), trong đó \(\overrightarrow P = \left( {0;0; - 300} \right)\) là trọng lực tác dụng lên máy quay.

Suy ra \( - 18k = 300\), tức là \(k = \frac{{50}}{3}\). Vậy \(\overrightarrow {{F_1}} = \left( {0;\frac{{50}}{3}; - 100} \right)\). Khi đó, \(a + 3b - c = 150\).