Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {2^{{x^2}}}\) và \(g\left( x \right) = \sqrt {{{\log }_2}x} \). Giả sử \(S = \int\limits_1^{20} {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^{{2^{400}}} {g\left( x \right)dx} \) được viết dưới dạng \(S = a \cdot {2^b} - c\), với \(b\) là số nguyên và \(a\), \(c\) là các số nguyên tố. Tính \(a + b + c.\)

Đáp án: 409

Chứng minh bổ đề:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và đơn điệu nghiêm ngặt (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến) trên đoạn \([a,b]\). Khi đó, tồn tại hàm số ngược \(x = {f^{ - 1}}\left( y \right)\) xác định trên đoạn có hai đầu mút là \(f\left( a \right)\) và \(f\left( b \right)\). Ta luôn có đẳng thức sau:\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{f\left( a \right)}^{f\left( b \right)} {{f^{ - 1}}\left( y \right)dy} = b \cdot f\left( b \right) - a \cdot f\left( a \right)\).

Chứng minh:

- Tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) chính là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị \(f\left( x \right)\), trục hoành \(Ox\), và hai đường thẳng \(x = a,x = b\).

- Bây giờ, hãy nhìn đồ thị \(y = f\left( x \right)\) từ góc độ của trục tung \(Oy\). Theo định nghĩa hàm ngược, diện tích nằm giữa đồ thị \(f\left( x \right)\), trục tung \(Oy\) và hai đường thẳng \(y = f\left( a \right),y = f\left( b \right)\) chính là tích phân \[\int\limits_{f\left( a \right)}^{f\left( b \right)} {{f^{ - 1}}\left( y \right)dy} \] .

Hình chữ nhật lớn: Có các cạnh là \(b\) và \(f\left( b \right) \Rightarrow {S_L} = b \cdot f\left( b \right)\).

Hình chữ nhật nhỏ: Có các cạnh là \(a\) và \(f\left( a \right) \Rightarrow {S_N} = a \cdot f\left( a \right)\).

Vì vậy, tổng hai tích phân chính bằng: \({S_L} - {S_N} = b \cdot f\left( b \right) - a \cdot f\left( a \right)\).

Trở lại bài toán:

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {2^{{x^2}}}\) (với \(x \ge 1\)).

Ta có \({\log _2}y = {x^2} \Rightarrow x = \sqrt {{{\log }_2}y} \).

Do đó, hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {{{\log }_2}x} \) chính là hàm ngược của \(f\left( x \right)\), hay \(g\left( x \right) = {f^{ - 1}}\left( x \right)\).

Áp dụng công thức tích phân hàm ngược:

\(S = \int\limits_1^{20} {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^{{2^{400}}} {g\left( x \right)dx} \) \( = \int\limits_1^{20} {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{f\left( 1 \right)}^{f\left( {20} \right)} {g\left( x \right)dx} \)

\[ = 20 \cdot f\left( {20} \right) - 1 \cdot f\left( 1 \right) = 20 \cdot {2^{400}} - 2 = \left( {5 \cdot 4} \right) \cdot {2^{400}} - 2 = 5 \cdot {2^{402}} - 2\]

Suy ra: \(a = 5\) (là số nguyên tố);\(b = 402\) (là số nguyên); \(c = 2\) (là số nguyên tố).

Vậy \(a + b + c = 5 + 402 + 2 = 409\).