Cho tứ diện OPQR có OP, OQ, OR đôi một vuông góc. Gọi A, B, C lần lượt là trung điểm các cạnh RQ, PR, PQ. Biết rằng mặt phẳng $\left(OAB\right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left(OAC\right)$, tính giá trị của biểu thức $\tan ABC.\tan ACB$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(0;1;1\right), B\left(1;2;-1\right), C\left(1;2;2\right)$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right): x+2y+2z-1=0$ Xét điểm M thay đổi thuộc mặt phẳng $\left(\alpha \right)$, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M{A}^2+M{B}^2+2\overrightarrow{MB}\overrightarrow{MC}$ bằng

Cho m là số thực, biết phương trình $z^2+mz+5=0$ có hai nghiệm phức. Tính tổng môđun của hai nghiệm.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(1;1;1\right), B\left(2;3;2\right), C\left(3;-1;3\right)$. Tìm tọa độ điểm D sao cho bốn điểm A, B, C, D lập thành một hình chữ nhật.

Cho hàm số đa thức bậc ba $y=f\left(x\right)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Với m là tham số thực bất kì thuộc đoạn $\left[0;2\right]$, phương trình $f\left(x^3-2x^2+2019x\right)=m^2-2m+\frac{3}{2}$ có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Phần thực của số phức $z={\left(1+\sqrt{3}i\right)}^{2018}$ là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và $\widehat{ABC}=60°$. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ trùng với trọng tâm tam giác ABC. Gọi $\phi$ là góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng $\left(SCD\right)$, tính $\sin \phi$ biết rằng $SB=a$ .

${\int }_4^6\frac{x^2+4x+1}{x^2+x}$Biết rằng  với a, b, c là các số nguyên dương, $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $S=a+b+c$