Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu (O; R), vẽ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D.

Chứng minh rằng MA.MB = MC.MD

Gọi a là cạnh của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1;

⇒ Diện tích toàn phần của hình lập phương (H) là: SH = 6.a2 (đvdt).

Gọi tâm các mặt lần lượt là E, F, M, N, P, Q như hình vẽ.

⇒ (H’) là bát diện đều EMNPQF.

+ Áp dụng định lí pytago vào tam giác vuông AA’D ⇒ A’D = a√2

+ EM là đường trung bình của ΔBA’D

⇒ (H’) là bát diện đều gồm 8 mặt là các tam giác đều cạnh bằng 

⇒ Diện tích một mặt của (H’) là:

⇒ Diện tích toàn phần của (H’) là:

Vậy tỉ số diện tích cần tính là:

+ Gọi O là trung điểm của AB.

Tam giác AMB là vuông tại M có OM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên : 

Suy ra, M thuộc mặt cầu tâm O, bán kính là 

+ Ngược lại, xét mặt cầu  với O là trung điểm của AB.

Lấy điểm M bất kì thuộc mặt cầu này. Suy ra:  (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

⇒ Tam giác MAB vuông tại M.

Kết luận: Vậy tập hợp các điểm M trong không gian luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới 1 góc vuông là mặt cầu