Câu hỏi:
13/07/2024 2,199Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB, SC. Mặt cầu này còn tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Gọi mặt cầu đã cho có tâm O và bán kính R.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC và CA.
Gọi I,J và K lần lượt là tiếp điểm của các cạnh bên SA, SB, SC với mặt cầu:
+ Từ giả thiết ta suy ra: OI ⊥ SA; OM ⊥ AB
Xét tam giác OIA và tam giác OMA có:
⇒ ∆ OIA = ∆OMA ( ch- cgv)
⇒ AM = AI.
Chứng minh tương tự có: BM= BJ và SI = SJ (1)
Mà AM = BM nên AI= BJ ; (2)
Từ (1) và (2) suy ra: SI+IA = SJ + BJ hay SA = SB (3)
* Chứng minh tương tự, ta có SB= SC (4).
Từ (3) và (4) suy ra: SA = SB = SC (*)
Mặt khác ; BM = BN (= BJ) và CN = CP (= CK)
Suy ra; AB = 2BM = BC = 2 CN = 2CP = CA
Do đó, tam giác ABC là tam giác đều (**)
Từ (*) và (**) suy ra, S. ABC là hình chóp tam giác đều.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD).
Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính độ dài đoạn AH.
Câu 2:
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên Δ lấy điểm S sao cho OS = a/2 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
Câu 3:
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC. Biết AB = AD = a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc BDA quanh cạnh AB.
Câu 4:
Một hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Chứng minh rằng hình chóp đó nội tiếp được trong một mặt cầu (các đỉnh của hình chóp nằm trên mặt cầu).
Câu 5:
Cho hình trụ có bán kính r, trục OO' = 2r và mặt cầu đường kính OO'.
Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.
Câu 6:
Cho hình trụ có bán kính r, trục OO' = 2r và mặt cầu đường kính OO'.
Hãy so sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu được tạo nên bởi hình trụ và mặt cầu đã cho.
về câu hỏi!