Câu hỏi:

13/07/2024 2,767

Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB, SC. Mặt cầu này còn tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Giải bài 4 trang 50 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Gọi mặt cầu đã cho có tâm O và bán kính R.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC và CA.

Gọi I,J và K lần lượt là tiếp điểm của các cạnh bên SA, SB, SC với mặt cầu:

+ Từ giả thiết ta suy ra: OI ⊥ SA; OM ⊥ AB

Xét tam giác OIA và tam giác OMA có:

Giải bài 4 trang 50 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

⇒ ∆ OIA = ∆OMA ( ch- cgv)

⇒ AM = AI.

Chứng minh tương tự có: BM= BJ và SI = SJ (1)

Mà AM = BM nên AI= BJ ; (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SI+IA = SJ + BJ hay SA = SB (3)

* Chứng minh tương tự, ta có SB= SC (4).

Từ (3) và (4) suy ra: SA = SB = SC (*)

Mặt khác ; BM = BN (= BJ) và CN = CP (= CK)

Suy ra; AB = 2BM = BC = 2 CN = 2CP = CA

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều (**)

Từ (*) và (**) suy ra, S. ABC là hình chóp tam giác đều.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Giải bài 5 trang 50 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Từ A vẽ AH ⊥ (BCD)

Xét ba tam giác ABH, ACH và ADH có:

AB= AC = AD ( vì ABCD là tứ diện đều).

AH chung

Giải bài 5 trang 50 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

=> ∆ ABH = ∆ ACH =∆ ADH ( ch- cgv)

Suy ra,HB = HC = HD . Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

Do tam giác BCD là tam giác đều nên H đồng thời là trọng tâm tam giác BCD

Gọi M là trung điểm CD. Ta có;

Giải bài 5 trang 50 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

+ xét tam giác AHB vuông tại H có:

Giải bài 5 trang 50 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP