Cho lăng trụ đứng $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có diện tích tam giác $ABC$ bằng $5$. Gọi $M,N,P$ lần lượt thuộc các cạnh $AA\text{'},BB\text{'},CC\text{'}$ và diện tích tam giác $MNP$ bằng 10. Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left(ABC\right)$ và $\left(MNP\right)$.

Số giá trị nguyên m thuộc đoạn [-10;10] để hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-m{x}^2-\left(2m+1\right)x+1$ nghịch biến trên khoảng (0;5) là

Ta xác định được các số a, b, c để đồ thị hàm số $y=x^3+a{x}^2+bx+c$ đi qua điểm (0;1) và có điểm cực trị (-2;0). Tính giá trị của biểu thức T=4a+b+c? 

Trong không gian cho đường thẳng $a$ và điểm $M$. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với đường thẳng $a$?

Khẳng định nào sau đây đúng?

Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số $f\left(x\right)=x^3+1$ sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại M song song với đường thẳng d: y=3x-1.

Đường thẳng d: y=x+m cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho $O{A}^2+O{B}^2=2$, O là gốc tọa độ. Khi đó m  thuộc khoảng

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành, mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua AB cắt cạnh SC, SD lần lượt tại M, N. Tính tỉ số $\frac{SN}{SD}$ để $\left(\alpha \right)$ chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.