Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $5C_n^1-C_n^2=5.$ Tìm hệ số a của $x^4$ trong khai triển của biểu thức ${\left(2x+\frac{1}{x^2}\right)}^n.$ 

Đáp án B.

Phương pháp: 

Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến trên khoảng $\left(a;b\right)\iff f\text{'}\left(x\right)\le 0,\forall \text{x}\in \left(a;b\right),$ bằng 0 tại hữu hạn điểm trên $\left(a;b\right).$ 

Cách giải:

$$\begin{gathered} y=x^3-3\left(m+2\right)x^2+3\left(m^2+4m\right)x+1 \\ \Rightarrow y\text{'}=3x^2-6\left(m+2\right)x+3\left(m^2+4m\right) \end{gathered}$$ 

Hàm số

$y=x^3-3\left(m+2\right)x+3\left(m^2+4m\right)x+1$

nghịch biến trên khoảng $\left(0;1\right)$ $\iff f\text{'}\left(x\right)\le 0,\forall x\in \left(0;1\right),$ bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (0; 1).

$\iff 3x^2-6\left(m+2\right)x+3\left(m^2+4m\right)\le 0,\forall x\in \left(0;1\right),$

bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (0;1).

Xét phương trình

$\iff 3x^2-6\left(m+2\right)x+3\left(m^2+4m\right)=0\left(*\right)$

 $\Delta \text{'}=9{\left(m+2\right)}^2-3.3\left(m^2+4m\right)=36>0,\forall m\Rightarrow$

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

Để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) thì $x_1\le 0<1\le x_2$ 

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2\le 0\\ \left(1-x_1\right)\left(1-x_2\right)\le 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2\le 0\\ 1+x_1{x}_2-\left(x_1+x_2\right)\le 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2+4m\le 0\\ 1+m^2+4m-2m-4\le 0\end{array}\right. \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}-4\le m\le 0\\ -3\le m\le 1\end{array}\right. \\ \iff -3\le m\le 0 \end{gathered}$$

Mà $m\in Z\Rightarrow m\in \left\{-3;-2;-1;0\right\}\Rightarrow$

Có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn. 

Đáp án A.

Cách giải:            

Số cách chọn 3 học sinh từ 5 học sinh là $C_5^3.$