Cho số phức z thỏa mãn z<2. GTNN của biểu thức P=2z+1+2z−1+z−z¯−4i bằng A. 4+23. B. 2+3. C. 4+1415. D. 2+715.

Đáp án B.Phương pháp: Tọa độ hóa điểm số phức z, đánh giá GTNN. Cách giải:Giả sử z=x+yi, x,y∈R⇒Mx;ylà điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ Oxy.P=2z+1+2z−1+z−z¯−4i =2x+12+y2+x−12+y2+y−2Đặt A−1;0, B1;0, C0;2 và H0;y là hình chiếu của M lên Oy. Khi đó, P=2MA+MB+MCTa xác định vị trí của M để P đạt giá trị nhỏ nhất, (M di chuyển trên hình tròn x2+y2≤4)+) Nếu M∈C1:x2+y2≤4, y<0 thì ta luôn tìm được điểm M'∈C1:x2+y2≤4, y≥0 đối xứng với M qua Ox. Khi đó, P=2MA+MB+HC=2M'A+M'B+H'C>2MA+MB+HC+) Ta xét điểm M∈C2:x2+y2≤4, y≥0 Với M nằm trong nửa hình tròn C2, thay đổi trên đường thẳng y=m cố định 0≤m≤2 thì độ dài đoạn HC không đổi, MA+MB≥22HA+HC Ta có: 2HA+HC=2m2+1+2−m=fm, m∈0;2 f'm=2m2+1−1, f'm=0⇔m=13 fmmin=f13=1+32 ⇒Pmin=21+32=2+3khi M0;13 hay z=i3.

Câu hỏi:

19/05/2020 228

Cho số phức z thỏa mãn $|z| < 2.$ GTNN của biểu thức $P = 2 |z + 1| + 2 |z - 1| + |z - \bar{z} - 4 i|$ bằng

A. $4 + 2 \sqrt{3} .$

B. $2 + \sqrt{3} .$

Đáp án chính xác

C. $4 + \frac{14}{\sqrt{15}} .$

D. $2 + \frac{7}{\sqrt{15}} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán mới nhất cực hay !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B.

Phương pháp:

Tọa độ hóa điểm số phức z, đánh giá GTNN.

Cách giải:

Giả sử $z = x + y i, (x, y \in R) \Rightarrow M (x; y)$

là điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

$P = 2 |z + 1| + 2 |z - 1| + |z - \bar{z} - 4 i|$

$= 2 (\sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} + |y - 2|)$

Đặt $A (- 1; 0),$ $B (1; 0),$ $C (0; 2)$ và $H (0; y)$ là hình chiếu của M lên Oy. Khi đó, $P = 2 (M A + M B + M C)$

Ta xác định vị trí của M để P đạt giá trị nhỏ nhất, (M di chuyển trên hình tròn $x^{2} + y^{2} \leq 4$ )

+) Nếu $M \in (C_{1}) : x^{2} + y^{2} \leq 4, y < 0$ thì ta luôn tìm được điểm

$M' \in (C_{1}) : x^{2} + y^{2} \leq 4, y \geq 0$ đối xứng với M qua Ox. Khi đó,

$P = 2 (M A + M B + H C)$

$= 2 (M' A + M' B + H' C) > 2 (M A + M B + H C)$

+) Ta xét điểm

$M \in (C_{2}) : x^{2} + y^{2} \leq 4, y \geq 0$

Với M nằm trong nửa hình tròn $(C_{2}),$ thay đổi trên đường thẳng $y = m$ cố định $(0 \leq m \leq 2)$ thì độ dài đoạn HC không đổi, $M A + M B \geq 2 (2 H A + H C)$

Ta có:

$2 H A + H C = 2 \sqrt{m^{2} + 1} + 2 - m = f (m), m \in [0; 2]$

$f' (m) = \frac{2}{\sqrt{m^{2} + 1}} - 1, f' (m) = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$f {(m)}_{\min} = f (\frac{1}{\sqrt{3}}) = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow P_{\min} = 2 (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 + \sqrt{3}$

khi $M (0; \frac{1}{\sqrt{3}})$ hay $z = \frac{i}{\sqrt{3}} .$

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = x^{3} - 3 (m + 2) x^{2} + 3 (m^{2} + 4 m) x + 1$ nghịch biến trên khoảng $(0; 1) ?$

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Xem đáp án » 18/05/2020 56,972

Câu 2:

Số cách chọn 3 học sinh từ 5 học sinh là

A. $C_{5}^{3} .$

B. $A_{5}^{3} .$

C. 3!.

D. 15

Xem đáp án » 17/05/2020 39,118

Câu 3:

Tìm tất cả các nghiệm của phương trình $\sin (x + \frac{π}{6}) = 1.$

A. $x = \frac{π}{3} + k π, (k \in Z) .$

B. $x = - \frac{π}{6} + k 2 π, (k \in Z) .$

C. $x = \frac{π}{3} + k 2 π, (k \in Z) .$

D. $x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in Z) .$

Xem đáp án » 17/05/2020 36,360

Câu 4:

Tổng các nghiệm của phương trình $2^{x^{2} + 2 x} = 8^{2 - x}$ bằng

A. 5

B. -5

C. 6

D. -6

Xem đáp án » 17/05/2020 28,681

Câu 5:

Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng 6 và chiều cao bằng 5.

A. 60

B. 180

C. 50

D. 150

Xem đáp án » 17/05/2020 25,487

Câu 6:

Biết $\int x . c o s 2 x d x = a x s i n 2 x + b \cos 2 x + C,$
với a,b là số hữu tỉ. Tính tích a.b.

A. $a . b = \frac{1}{8} .$

B. $a . b = \frac{1}{4} .$

C. $a . b = - \frac{1}{8} .$

D. $a . b = - \frac{1}{4} .$

Xem đáp án » 18/05/2020 21,322

Câu 7:

Một tổ có 9 học sinh gồm 4 học sinh nữ và 5 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên từ tổ đó ra 3 hoc sinh. Xác suất để trong 3 học sinh chọn ra có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ bằng

A. $\frac{17}{42} .$

B. $\frac{5}{42} .$

C. $\frac{25}{42} .$

D. $\frac{10}{42} .$

Xem đáp án » 18/05/2020 21,234

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho số phức z thỏa mãn $|z| < 2.$ GTNN của biểu thức $P = 2 |z + 1| + 2 |z - 1| + |z - \bar{z} - 4 i|$ bằng

Nhà sách VIETJACK:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = x^{3} - 3 (m + 2) x^{2} + 3 (m^{2} + 4 m) x + 1$ nghịch biến trên khoảng $(0; 1) ?$

Số cách chọn 3 học sinh từ 5 học sinh là

Tìm tất cả các nghiệm của phương trình $\sin (x + \frac{π}{6}) = 1.$

Tổng các nghiệm của phương trình $2^{x^{2} + 2 x} = 8^{2 - x}$ bằng

Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng 6 và chiều cao bằng 5.

Biết $\int x . c o s 2 x d x = a x s i n 2 x + b \cos 2 x + C,$
với a,b là số hữu tỉ. Tính tích a.b.

Một tổ có 9 học sinh gồm 4 học sinh nữ và 5 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên từ tổ đó ra 3 hoc sinh. Xác suất để trong 3 học sinh chọn ra có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ bằng

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho số phức z thỏa mãn z<2. GTNN của biểu thức P=2z+1+2z−1+z−z¯−4i bằng

Nhà sách VIETJACK:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=x3−3m+2x2+3m2+4mx+1 nghịch biến trên khoảng 0;1?

Số cách chọn 3 học sinh từ 5 học sinh là

Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sinx+π6=1.

Tổng các nghiệm của phương trình 2x2+2x=82−x bằng

Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng 6 và chiều cao bằng 5.

Biết ∫x.cos2xdx=axsin2x+bcos2x+C,với a,b là số hữu tỉ. Tính tích a.b.

Một tổ có 9 học sinh gồm 4 học sinh nữ và 5 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên từ tổ đó ra 3 hoc sinh. Xác suất để trong 3 học sinh chọn ra có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ bằng

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho số phức z thỏa mãn $|z| < 2.$ GTNN của biểu thức $P = 2 |z + 1| + 2 |z - 1| + |z - \bar{z} - 4 i|$ bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = x^{3} - 3 (m + 2) x^{2} + 3 (m^{2} + 4 m) x + 1$ nghịch biến trên khoảng $(0; 1) ?$

Tìm tất cả các nghiệm của phương trình $\sin (x + \frac{π}{6}) = 1.$

Tổng các nghiệm của phương trình $2^{x^{2} + 2 x} = 8^{2 - x}$ bằng

Biết $\int x . c o s 2 x d x = a x s i n 2 x + b \cos 2 x + C,$
với a,b là số hữu tỉ. Tính tích a.b.