Cho số phức  z  thỏa mãn $\left|z\right|<2.$ GTNN của biểu thức $P=2\left|z+1\right|+2\left|z-1\right|+\left|z-\overline{z}-4i\right|$ bằng

Đáp án B.

Phương pháp: 

Tọa độ hóa điểm số phức z, đánh giá GTNN.

Cách giải:

Giả sử $z=x+yi,\left(x,y\in \text{R}\right)\Rightarrow M\left(x;y\right)$

là điểm biểu diễn của  z trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

$P=2\left|z+1\right|+2\left|z-1\right|+\left|z-\overline{z}-4i\right|$ 

$=2\left(\sqrt{{\left(x+1\right)}^2+y^2}+\sqrt{{\left(x-1\right)}^2+y^2}+\left|y-2\right|\right)$

Đặt $A\left(-1;0\right),$ $B\left(1;0\right),$ $C\left(0;2\right)$ và $H\left(0;y\right)$ là hình chiếu của M lên Oy. Khi đó, $P=2\left(MA+MB+MC\right)$

Ta xác định vị trí của M để P đạt giá trị nhỏ nhất, (M di chuyển trên hình tròn $x^2+y^2\le 4$)

+) Nếu $M\in \left(C_1\right):x^2+y^2\le 4,y<0$ thì ta luôn tìm được điểm

$M\text{'}\in \left(C_1\right):x^2+y^2\le 4,y\ge 0$ đối xứng với M qua Ox. Khi đó,

$P=2\left(MA+MB+HC\right)$

$=2\left(M\text{'}A+M\text{'}B+H\text{'}C\right)>2\left(MA+MB+HC\right)$

+) Ta xét điểm

$M\in \left(C_2\right):x^2+y^2\le 4,y\ge 0$ 

Với M nằm trong nửa hình tròn $\left(C_2\right),$ thay đổi trên đường thẳng $y=m$ cố định $\left(0\le m\le 2\right)$ thì độ dài đoạn HC không đổi, $MA+MB\ge 2\left(2HA+HC\right)$ 

Ta có:

$$\begin{gathered} 2HA+HC=2\sqrt{m^2+1}+2-m \\ =f\left(m\right),m\in \left[0;2\right] \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(m\right)=\frac{2}{\sqrt{m^2+1}}-1, \\ f\text{'}\left(m\right)=0\iff m=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{gathered}$$ 

$f{\left(m\right)}_{\min }=f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=1+\frac{\sqrt{3}}{2}$ 

$\Rightarrow P_{\min }=2\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=2+\sqrt{3}$

khi $M\left(0;\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ hay $z=\frac{i}{\sqrt{3}}.$