Câu hỏi:
15/08/2022 31,030Tổng các nghiệm của phương trình cos2x – sin2x = 1 trong khoảng (0; 2π) là:
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: cos 2x – sin 2x = 1
\[ \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 2x - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 2x} \right) = 1\]
\[ \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4}\,\,\cos 2x - \sin \frac{\pi }{4}\,\,\sin 2x} \right) = 1\]
\[ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\,\, = 1\]
\[ \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\,\, = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\]
\[ \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\,\, = \cos \frac{\pi }{4}\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\,2x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\,x = k\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,(k \in \mathbb{Z})\]
+) Với \(x = k\pi \) và \(x \in \left( {0;2\pi } \right)\)
\( \Rightarrow 0 < k\pi < 2\pi \Leftrightarrow 0 < k < 2\)
Mà \(k \in \mathbb{Z}\)
\( \Rightarrow k = 1\)
Khi đó, phương trình có nghiệm thuộc (0; 2π) là: x = π.
+) Với \[x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \] và \(x \in \left( {0;2\pi } \right)\)
\( \Rightarrow 0 < - \frac{\pi }{4} + k\pi < 2\pi \Leftrightarrow 0 < k < \frac{9}{4}\)
Mà \(k \in \mathbb{Z}\)
\( \Rightarrow k = 1;\,\,2\).
Khi đó, phương trình có nghiệm thuộc (0; 2π) là: \[\frac{{3\pi }}{4};\,\,\frac{{7\pi }}{4}\].
Do đó các nghiệm của phương trình trong khoảng (0; 2π) là: \[\frac{{3\pi }}{4};\,\,\frac{{7\pi }}{4};\,\,\pi \].
Vậy tổng các nghiệm này là: \[\frac{{3\pi }}{4} + \frac{{7\pi }}{4} + \pi = \frac{{14\pi }}{4}\].
Đáp án B.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
về câu hỏi!