Trong không gian Oxyz cho một vecto $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ tùy ý khác vecto $\overrightarrow{0}$. Gọi $\mathrm{\alpha }$, $\mathrm{\beta }$, $\mathrm{\gamma }$ là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị $\overrightarrow{\mathrm{i}}$, $\overrightarrow{\mathrm{j}}$, $\overrightarrow{\mathrm{k}}$ trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto $\overrightarrow{\mathrm{a}}$. Chứng minh rằng: ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta \mathit{+}{\cos }^{\mathit{2}}\gamma \mathit{=}\mathit{1}$

Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).

Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$

Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 4) và gốc tọa độ O. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Cho hai bộ ba điểm: A = (1; 3; 1), B = (0; 1; 2), C = (0; 0; 1). Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng?

Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh hệ thức: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0$

Trong không gian Oxyz cho điểm M có tọa độ (${\mathrm{x}}_0$; ${\mathrm{y}}_0$; ${\mathrm{z}}_0$). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là:

A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)

Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.