Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Trong không gian Oxyz cho ba vecto $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (2; −1; 2), $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = (3; 0; 1), $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ = (−4; 1; −1). Tìm tọa độ của các vecto $\overrightarrow{\mathrm{m}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{n}}$biết rằng: $\overrightarrow{\mathrm{m}}$ = 3$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ − 2$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{c}}$

Trong không gian Oxyz cho ba vecto $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (2; −1; 2), $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = (3; 0; 1), $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ = (−4; 1; −1). Tìm tọa độ của các vecto $\overrightarrow{\mathrm{m}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ biết rằng: $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ = 2$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ + 4$\overrightarrow{\mathrm{c}}$

Trong không gian Oxyz cho vecto $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (1; −3; 4). Tìm ${\mathrm{y}}_0$ và ${\mathrm{z}}_0$ để cho vecto $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = (2; ${\mathrm{y}}_0$; ${\mathrm{z}}_0$) cùng phương với $\overrightarrow{\mathrm{a}}$

Trong không gian Oxyz cho vecto $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (1; −3; 4). Tìm tọa độ của vecto $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ biết rằng $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ ngược hướng và |$\overrightarrow{\mathrm{c}}$| = 2|$\overrightarrow{\mathrm{a}}$|

Trong không gian Oxyz cho điểm M có tọa độ (${\mathrm{x}}_0$; ${\mathrm{y}}_0$; ${\mathrm{z}}_0$). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).

Cho hai bộ ba điểm: A = (1; 3; 1), B = (0; 1; 2), C = (0; 0; 1). Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng?

Cho hai bộ ba điểm: M = (1; 1; 1), N = (-4; 3; 1), P = (-9; 5; 1). Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng?

Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).

Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$

Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{DB}}$

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{MN}$

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{PQ}$

Trong không gian cho ba vecto tùy ý $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, $\overrightarrow{\mathrm{c}}$

Gọi $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ − 2$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ , $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ = 3$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ − $\overrightarrow{\mathrm{c}}$, $\overrightarrow{w}$ = 2$\overrightarrow{\mathrm{c}}$ − 3$\overrightarrow{\mathrm{a}}$

Chứng tỏ rằng ba vecto $\overrightarrow{\mathrm{u}}$, $\overrightarrow{\mathrm{v}}$, $\overrightarrow{w}$ đồng phẳng.

Trong không gian Oxyz cho một vecto $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ tùy ý khác vecto $\overrightarrow{0}$. Gọi $\mathrm{\alpha }$, $\mathrm{\beta }$, $\mathrm{\gamma }$ là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị $\overrightarrow{\mathrm{i}}$, $\overrightarrow{\mathrm{j}}$, $\overrightarrow{\mathrm{k}}$ trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto $\overrightarrow{\mathrm{a}}$. Chứng minh rằng: ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta \mathit{+}{\cos }^{\mathit{2}}\gamma \mathit{=}\mathit{1}$

Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh hệ thức: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0$

Cho hình tứ diện ABCD. Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: “Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau.”

Tính tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ trong không gian với các tọa độ đã cho là: $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (3; 0; −6), $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = (2; −4; c)

Tính tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ trong không gian với các tọa độ đã cho là: $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (1; −5; 2), $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = (4; 3; −5)

Tính tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ trong không gian với các tọa độ đã cho là: $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (0; $\sqrt{2}$; $\sqrt{3}$), $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = (1; $\sqrt{3}$; −$\sqrt{2}$)

Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau: A(4; -1; 1), B(2; 1; 0)