Cho điểm M(1; -1; 2) và mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$): 2x – y + 2z + 12 = 0. Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) 

Cho hai đường thẳng: $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-1}{-1}=\frac{\mathrm{y}-2}{2}=\frac{\mathrm{z}}{3}$ và $\mathrm{d}\text{'}\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1+\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=3-2\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{z}=1\end{array}\right.$ Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’.

Cho mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) : 2x + y + z – 1 = 0 và đường thẳng d: $\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-3}$

Gọi M là giao điểm của d và ($\mathrm{\alpha }$), hãy viết phương trình của đường thẳng $∆$ đi qua M vuông góc với d và nằm trong ($\mathrm{\alpha }$)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Bằng phương pháp tọa độ hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và DD’.

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) trong các trường hợp sau:

$\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3-\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1+2\mathrm{t}\end{array}\right.$ và ($\mathrm{\alpha }$): x + y + z - 6 = 0

Viết phương trình của đường thẳng $∆$ nằm trong mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$): x + 2z = 0 và cắt hai đường kính

${\mathrm{d}}_1\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1-\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=4\mathrm{t}\end{array}\right.$và ${\mathrm{d}}_2\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2-\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=4+2\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{z}=4\end{array}\right.$

Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song:

$\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=5+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=\mathrm{at}\\ \mathrm{z}=2-\mathrm{t}\end{array}\right.$ và $\mathrm{d}\text{'}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+2\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=\mathrm{a}+4\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{z}=2-2\mathrm{t}\text{'}\end{array}\right.$

Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng $∆$: $\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$