Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

$\begin{array}{l}a)1,5x^2-1,6x+0,1=0\\ b)\sqrt{3}{x}^2-(1-\sqrt{3})x-1=0\\ c\left)\right(2-\sqrt{3})x^2+2\sqrt{3}x-(2+\sqrt{3})=0\\ d\left)\right(\text{m}-1){\text{x}}^2-(2\text{m}+3)\text{x}+\text{m}+4=0 với \text{m}\ne 1.\end{array}$

a) Phương trình $x^2-2x+m=0$

Có a = 1; b = -2; c = m nên b’= -1

$\Rightarrow {\Delta }^{\text{'}}={(-1)}^2-1\cdot m=1-m$

Phương trình có nghiệm ⇔ Δ’ ≥ 0 ⇔ 1 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1.

Khi đó, theo định lý Vi-et: 

Vậy với m ≤ 1, phương trình có hai nghiệm có tổng bằng 2; tích bằng m.

b) Phương trình

$\begin{array}{l}{x}^2+2(m-1)x+m^2=0\\ Có (a=1;b=2(m-1)\\ c=m^2\text{ nên }{b}^{\text{'}}=m-1\\ \Rightarrow {\Delta }^{\text{'}}=b^{\text{'}2}-ac\\ ={(m-1)}^2-m^2=-2m+1\end{array}$

Phương trình có nghiệm ⇔ Δ’ ≥ 0 ⇔ - 2m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/2.

Khi đó, theo định lý Vi-et: 

Vậy với m ≤ ½, phương trình có hai nghiệm có tổng bằng -2(m – 1), tích bằng ${\text{m}}^2$

a) S = 42; P = 441 $\Rightarrow S^2 – 4P = {42}^2 – 4.441 = 0$

⇒ u và v là hai nghiệm của phương trình: $x^2 – 42x + 441 = 0$

Có:$\Delta ’ = {(-21)}^2 – 441 = 0$

⇒ Phương trình có nghiệm kép $x_1 = x_2 = -b’/a = 21.$

Vậy u = v = 21.

b) S = -42; P = -400 $\Rightarrow S2 – 4P = {(-42)}^2 – 4.(-400) = 3364 > 0$

⇒ u và v là hai nghiệm của phương trình: $x^2 + 42x – 400 = 0$

Có $\Delta ’ = {21}^2 – 1.(-400) = 841$

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy u = 8; v = -50 hoặc u = -50; v = 8.

c) u – v = 5 ⇒ u + (-v) = 5

u.v = 24 ⇒ u.(-v) = -uv = -24.

Ta tìm u và –v. Từ đó, ta dễ dàng tính được u và v.

S= u + (-v) = 5; P = u. (-v) = -24 ⇒ $S^2 – 4P = 5^2 – 4.(-24) = 121 > 0$

⇒ u và –v là hai nghiệm của phương trình: $x^2 – 5x – 24 = 0$

Có $\Delta = {(-5)}^2 – 4.1.(-24) = 121$

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt

⇒ u = 8; -v = -3 hoặc u = -3; -v = 8

⇒ u = 8; v = 3 hoặc u = -3; v = -8.