Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số $y=f\left(x\right)=-x^2+4x-2$ trên các khoảng $\left(-\infty ;2\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

 Với $x_1\ne x_2$ ta có:

$$\begin{gathered} \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{\left(-{x_2}^2+4x_2-2\right)-\left(-{x_1}^2+4x_1-2\right)}{x_2-x_1} \\ =\frac{-\left({x_2}^2-{x_1}^2\right)+4(x_2-x_1)}{x_2-x_1}=-\left(x_2+x_1\right)+4 \end{gathered}$$.

·     Với $x_1,x_2\in \left(-\infty ;2\right)$ thì x₁ < 2; x₂ <2 nên $x_1+x_2<4\Rightarrow -\left(x_1+x_2\right)+4>0$ nên f(x) đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;2\right)$.

·         ·     Với $x_1,x_2\in \left(2;+\infty \right)$ thì x₁>2; x₂ >2 nên $x_1+x_2>4\Rightarrow -\left(x_1+x_2\right)+4<0$ nên f(x) nghịch biến trên khoảng  $\left(2;+\infty \right)$.

Vậy đáp án là A.

Nhận xét: Với 4 phương án trả lời cho ta biết f(x) đồng biến hoặc nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ;2\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

 Vì vậy, ta lấy hai giá trị bất kì $x_1<x_2$ thuộc mỗi khoảng rồi so sánh $f\left(x_1\right)$ và $f\left(x_2\right)$. Chẳng hạn $x_1=0;x_2=1$ có $f\left(0\right)=-2$ ;$f\left(1\right)=1$ nên $f\left(0\right)<f\left(1\right)$, suy ra f(x) đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;2\right)$.