Hàm số

Công thức $\left|y\right|=5x$, ứng với x > 0 tìm được hai giá trị của y là y = 5x và y = -5x nên $\left|y\right|=5x$ không phải là hàm số.

Vậy đáp án đúng là D.

Nhận thấy $y=\sqrt{x-2}+\frac{1}{\sqrt{x+2}}$ có nghĩa khi $\left\{\begin{array}{l}x-2\ge 0\\ x+2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ x>-2\end{array}\right.\iff x\ge 2$.

Do đó tập xác định của hàm số đã cho là $[2;+\infty )$.

Vậy đáp án là D.

Ta có $y=f\left(x\right)=\sqrt{{(x-\sqrt{5})}^2}=\left|x-\sqrt{5}\right|$ nên

$f\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)=\left|\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{5}\right|=\left|-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}$.

Vậy đáp án là C.

Nhận xét: Học sinh có thể mắc sai lầm khi tính $y=f\left(x\right)=x-\sqrt{5}$, từ đó dẫn đến việc tính $f\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)=-\sqrt{3}$ và chọn D. Hoặc tính nhầm thành $y=f\left(x\right)=x+\sqrt{5}$ sẽ dẫn đến $f\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)=2\sqrt{5}-\sqrt{3}$, từ đó chọn A. Hoặc cũng có thể tính thành $y=f\left(x\right)=-(x+\sqrt{5})$, dẫn đến $f\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)=-2\sqrt{5}+\sqrt{3}$. Đáp án là B.

Tập xác định của hàm số f(x)và g(x) đều là $\mathrm{ℝ}$.

Với $x\in \mathrm{ℝ}$ thì $-x\in \mathrm{ℝ}$ và ta có: $f\left(-x\right)=-\left|-x\right|=-\left|x\right|=f\left(x\right)$;

$g\left(-x\right)=\left|-x+1\right|-\left|-x-1\right|=\left|x-1\right|-\left|x+1\right|=-g\left(x\right)$.

Vậy f(x)là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ. Đáp án là D.

 Với $x_1\ne x_2$ ta có:

$$\begin{gathered} \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{\left(-{x_2}^2+4x_2-2\right)-\left(-{x_1}^2+4x_1-2\right)}{x_2-x_1} \\ =\frac{-\left({x_2}^2-{x_1}^2\right)+4(x_2-x_1)}{x_2-x_1}=-\left(x_2+x_1\right)+4 \end{gathered}$$.

·     Với $x_1,x_2\in \left(-\infty ;2\right)$ thì x₁ < 2; x₂ <2 nên $x_1+x_2<4\Rightarrow -\left(x_1+x_2\right)+4>0$ nên f(x) đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;2\right)$.

·         ·     Với $x_1,x_2\in \left(2;+\infty \right)$ thì x₁>2; x₂ >2 nên $x_1+x_2>4\Rightarrow -\left(x_1+x_2\right)+4<0$ nên f(x) nghịch biến trên khoảng  $\left(2;+\infty \right)$.

Vậy đáp án là A.

Nhận xét: Với 4 phương án trả lời cho ta biết f(x) đồng biến hoặc nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ;2\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

 Vì vậy, ta lấy hai giá trị bất kì $x_1<x_2$ thuộc mỗi khoảng rồi so sánh $f\left(x_1\right)$ và $f\left(x_2\right)$. Chẳng hạn $x_1=0;x_2=1$ có $f\left(0\right)=-2$ ;$f\left(1\right)=1$ nên $f\left(0\right)<f\left(1\right)$, suy ra f(x) đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;2\right)$.

Đáp án B

Điều  kiện xác định của hàm số : $\left\{\begin{array}{l}x+1\ge 0\\ 2-x\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge -1\\ x\le 2\end{array}\right.\iff -1\le x\le 2$

Do đó, tập xác định của hàm số $y=\sqrt{x+1}+3\sqrt{2-x}$ là:D=[-1; 2].