12 câu Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án (Tổng hợp)

Đáp án A

Ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB}\right).\overrightarrow{BC} \\ =\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC} \\ =\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}=HB.BC.\cos \left(\overrightarrow{HB},\overrightarrow{BC}\right) \\ =\frac{2}{3}BC.BC.\cos \left(\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}\right) \\ =\frac{2}{3}\mathrm{.6.6.}\cos {180}^0=-24 \end{gathered}$$

Đáp án D

Đáp án A: đúng do $AH\perp BC$

Đáp án B: đúng do $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AH}\right)={30}^{\circ }$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{HA}\right)={150}^{\circ }$

Đáp án C: đúng do

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos \left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right) \\ =a.a.\cos {60}^0=\frac{a^2}{2} \end{gathered}$$

Đáp án D: do $\left(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}\right)$ là góc ngoài của góc $\widehat{C}$ nên $\left(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}\right)={120}^{\circ }$

Do đó

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=AC.CB.\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right) \\ =a.a.\cos {120}^0=-\frac{a^2}{2} \end{gathered}$$

Đáp án C

Ta đi tính tích vô hướng ở các phương án. So sánh vế trái với vế phải

Phương án A: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos {60}^0=2$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BC}$ nên loại A

Phương án B: $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}=BC.AC.\cos {120}^0=-2$ nên loại B

Phương án C: $\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right).\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}=4$ nên chọn C

Phương án D:

$$\begin{gathered} \left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{BA}=\left(-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}\right).\overrightarrow{BA} \\ =\left(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}\right).\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BA}=B{A}^2=4 \end{gathered}$$

nên loại D

Đáp án C

Dựa vào đáp án. Ta có nhận xét sau:

• Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ là $\widehat{A}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)={60}^0$

Do đó, 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) \\ =a.a.\cos {60}^0=\frac{1}{2}{a}^2 \end{gathered}$$

nên A đúng

• Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)$ là góc ngoài của $\widehat{C}$ nên $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)={120}^0$

Do đó,

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=AC.CB.\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right) \\ =a.a.\cos {120}^0=-\frac{1}{2}{a}^2 \end{gathered}$$

nên B đúng

• Xác định được góc $\left(\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}\right)$ là $\widehat{AGB}$ nên $\left(\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}\right)={120}^0$

Do đó,

$$\begin{gathered} \overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}=GA.GB.\cos \left(\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}\right) \\ =\frac{a}{\sqrt{3}}.\frac{a}{\sqrt{3}}.\cos {120}^0=-\frac{a^2}{6} \end{gathered}$$

nên C sai

• Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)$ là $\widehat{GAB}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)={30}^0$

Do đó,

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AG}=AB.AG.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right) \\ =a.\frac{a}{\sqrt{3}}.\cos {30}^0=\frac{a^2}{2} \end{gathered}$$

nên D đúng

Đáp án D

Ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA}=\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}\right)+\overrightarrow{BD} \\ =\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BD} \end{gathered}$$

và $BD=a\sqrt{2}$

Khi đó

$$\begin{gathered} P=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).2\overrightarrow{BD} \\ =2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}+2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=-2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}+0 \\ =-2.BA.BD\cos \left(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}\right) \\ =2.a.a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=-2a^2 \end{gathered}$$

Đáp án D

Gọi $O=AC\cap BD$, giả thiết không cho góc, ta phân tích các vec tơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ theo các vec tơ có giá vuông góc với nhau. Ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\right).\overrightarrow{AC} \\ =\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{AC} \\ =\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}+0=\frac{1}{2}A{C}^2=32 \end{gathered}$$