Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; 2) và B (−3; 1). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC vuông tại A

Đáp án D

Gọi $O=AC\cap BD$, giả thiết không cho góc, ta phân tích các vec tơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ theo các vec tơ có giá vuông góc với nhau. Ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\right).\overrightarrow{AC} \\ =\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{AC} \\ =\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}+0=\frac{1}{2}A{C}^2=32 \end{gathered}$$

Đáp án C

Dựa vào đáp án. Ta có nhận xét sau:

• Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ là $\widehat{A}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)={60}^0$

Do đó, 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) \\ =a.a.\cos {60}^0=\frac{1}{2}{a}^2 \end{gathered}$$

nên A đúng

• Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)$ là góc ngoài của $\widehat{C}$ nên $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)={120}^0$

Do đó,

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=AC.CB.\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right) \\ =a.a.\cos {120}^0=-\frac{1}{2}{a}^2 \end{gathered}$$

nên B đúng

• Xác định được góc $\left(\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}\right)$ là $\widehat{AGB}$ nên $\left(\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}\right)={120}^0$

Do đó,

$$\begin{gathered} \overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}=GA.GB.\cos \left(\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}\right) \\ =\frac{a}{\sqrt{3}}.\frac{a}{\sqrt{3}}.\cos {120}^0=-\frac{a^2}{6} \end{gathered}$$

nên C sai

• Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)$ là $\widehat{GAB}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)={30}^0$

Do đó,

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AG}=AB.AG.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right) \\ =a.\frac{a}{\sqrt{3}}.\cos {30}^0=\frac{a^2}{2} \end{gathered}$$

nên D đúng