Có bao nhiêu số nguyên âm m để phương trình $m={\log }_3\left(\frac{3^x+1}{3^{x+3-27}}\right)$ có nghiệm thực

Cho các số thực dương $a_1, a_2,a_3,a_4, a_5$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng và các số thực dương $b_1,b_2,b_3,b_4,b_5$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Biết rằng $a_1=b_1$ và $a_5=\frac{176}{17}{b}_5$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\frac{a_2+a_3+a_4}{b_2+b_3+b_4}$ bằng

Có bao nhiêu số nguyên $m<10$ để hàm số $\mathrm{y}=\left|x^3-mx+1\right|$ có 5 điểm cực trị.

Một quan sát viên C đứng cách đường đua Ot một khoảng $OC=1km\left(OC\perp Ot\right)$ Hai vận động viên A,B xuất phát tại O và chạy cùng lúc (sang phải, như hình vẽ) trên đường đua. Góc $\theta =\overbrace{ACB}$ được gọi là góc nhìn từ C đến hai vận động viên. Giả sử B luôn chạy nhanh hơn A bốn lần. Khi góc nhìn từ C đến hai vận động viên lớn nhất, tính độ dài đoạn AB.

Cho hàm số $\mathrm{y}=\frac{1}{2}{\mathrm{x}}^4-x^3-6{\mathrm{x}}^2+7$ có đồ thị (C). Số giá trị nguyên của tham số m để có ba tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: y = mx là

Cho hai số thực dương x, y thoả mãn $3\sin x+\sqrt{15\sin x\sin y}+5\sin y$$=7\sin \left(x+y\right)$ và $x+y<\mathrm{\pi }$ Giá trị nhỏ nhất của x + y bằng

Cho hai số thực dương a,b thoả mãn a + b = 2018 và ${\int }_a^b\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{2018}-x}dx=10$ Tích phân ${\int }_a^b\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }x}{3}\right)dx$ bằng

Với a,b là hai số thực dương bất kì. Số điểm cực trị của hàm số $y=x^3+a{x}^2-bx+1$ là