Cho đường tròn (C) có phương trình $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ . Một phương trình tiếp tuyến của đường tròn kẻ từ điểm M(-4; 2) là

ĐÁP ÁN B

Đường tròn (C): $x^2 + y^2 - 4x + 2y – 4= 0$ có tâm I(2; -1) và  bán kính $R\text{}=\sqrt{2^2+\text{}{(-1)}^2+\text{}4}=3$

 Tiếp  tuyến qua M( -4; 2)  và nhận $\overrightarrow{n}(a;b)$ làm VTPT có phương trình :

a( x+ 4) + b (y – 2)= 0  hay ax + by + 4a – 2b = 0    (*)

Khoảng cách từ tâm I đến  tiếp tuyến bằng bán kính nên ta có:

$\begin{array}{l}d(I;d)\text{}=R\iff \frac{\left|2a-b+\text{}4a-\text{}2b\right|}{\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}}=3\\ \iff \frac{\left|6a-3b\right|}{\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}}=3\iff \frac{\left|2a-b\right|}{\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}}=1\\ \iff \left|2a-b\right|=\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}\iff 4a^2-4ab+\text{}{b}^2=a^2+\text{}{b}^2\\ \iff 3a^2-4ab=0\iff a(\text{}3a-4b)=0\\ \iff \left[\begin{array}{c}a=0\\ 3a=4b\end{array}\right.\end{array}$

* Nếu a= 0 , chọn  b= 1 thay  vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến là:  y – 2= 0

* Nếu 3a =  4b, chọn a = 4 thì b = 3 thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến là: 

4x + 3y + 10 = 0

Vậy có 2 tiếp tuyến qua M là:  y – 2= 0 và 4x +3y + 10= 0