Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 người vào 10 chỗ ngồi được sắp cách đều nhau bên bàn tròn mà em bé ngồi cạnh và giữa hai vợ chồng (trong 10 người thì có 2 vợ chồng và 1 em bé)?

Đáp án A.

+ Điều kiện: x > 0

+ Đặt ${\log }_{\frac{1}{2}}x=t$. Bất phương trình $\iff \left(x+1\right)t^2+\left(2x+5\right)t+6\ge 0$ 

$\Delta ={\left(2x+5\right)}^2-4\left(x+1\right)+6={\left(2x-1\right)}^2$ 

Bất phương trình

$\begin{array}{l}\iff \left[\begin{array}{l}{\log }_{\frac{1}{2}}x\le -2\\ {\log }_{\frac{1}{2}}x\ge -\frac{3}{x+1}\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}x\ge {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}\\ 0<c\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{-3}{x+1}}\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}x\ge 4\text{ (1)}\\ 0<x\le 2^{\frac{3}{x+1}}\end{array}\right.\end{array}$ 

+ Xét hàm số $f\left(x\right)=x-2^{\frac{3}{x+1}}$ có $f\text{'}\left(x\right)=1-2^{\frac{3}{x+1}}.\ln 2.\frac{-3}{{\left(x+1\right)}^2}>0\forall x>0$ 

Hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$ 

+ Có $f\left(2\right)=0\Rightarrow f\left(x\right)=0$ coa nghiệm là x=2 

Bảng biến thiên:

Bất phương trình $x\le 2^{\frac{3}{x+1}}\iff f\left(x\right)\le 0\iff 0<x\le 2\left(2\right)$ 

Từ (1) và (2) => Tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(0;2\right]\cup \left[4;+\infty \right)$ 

Vậy có 2016 nghiệm nguyên thỏa mãn.

Đáp án C.

Ta có $S_n=5(1+11+111+\dots \underset{\text{n sè 1}}{\underbrace{111\dots 1}})$ 

Tính $A_n=1+11+111+\dots +\underset{\text{n sè 1}}{\underbrace{111\dots 1}}$ 

Xét:

$\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_2=1+10\\ u_3=1+10+{10}^2\\ u_4=1+10+{10}^2+{10}^3\\ ⋮\\ u_n=1+10+{10}^2+{10}^3+\dots +{10}^{n-1}\end{array}$

$A_n=n.1+(n-1)10+(n-2){.10}^2$$+\dots +\left[n-(n-1)\right]{10}^{n-1}$

$\Rightarrow 10A_n=10n+{10}^2(n-1)+{10}^3(n-2)$$+\dots +\left[n-(n-1)\right]{10}^n$

$\begin{array}{l}\left(2\right)-\left(1\right)\Rightarrow 9A_n\\ =\left(-n+10+{10}^2+{10}^3+\dots +{10}^{n-1}+{10}^n\right)\\ =\left(-n+10.\frac{1-{10}^n}{1-10}\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow A_n=\frac{1}{9}.\frac{{10}^{n+1}-10}{9}-\frac{n}{9}\\ \Rightarrow S_{2018}=5.A_{2018}\\ =\frac{5}{9}\left(\frac{{10}^{2019}-10}{9}-\frac{2018}{8}\right)\end{array}$